Feladat:	B.4447	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barta Szilveszter Marcell
Füzet:	2013/október, 414. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/április: B.4447

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $A=x-2$ helyettesítéssel az egyenlet $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{A-1}+\sqrt[]{A^2-1}=\sqrt[]{A^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlet csak $A\ge 1$ esetén értelmezhető ($x\ge 3$). Emeljünk négyzetre: $\begin{array}{c}{\displaystyle A-1+2\sqrt[]{A-1}\sqrt[]{A^2-1}+A^2-1=A^3}\end{array}$ alakú lesz. Átrendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\sqrt[]{A-1}\sqrt[]{A^2-1}=A^3-A^2-A+2.}\end{array}$ Most vezessünk be új ismeretlent, $B:=\sqrt[]{\left(A-1\right)\left(A^2-1\right)}$. Összeszorozva   a gyökjel alatti két polinomot, $\left(A-1\right)\left(A^2-1\right)=A^3-A^2-A+1$; látjuk, hogy az egyenlet jobb oldala is átírható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2B=B^2+1.}\end{array}$ Innen már azonnal ${\left(B-1\right)}^2=0$, $B=1$ adódik. Ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=A^3-A^2-A+\mathrm{1,}{A}^3-A^2-A=\mathrm{0,}A\left(A^2-A-1\right)=0.}\end{array}$ Mivel $A\ge 1$, csak $A^2-A-1=0$ gyökeit kell vizsgálnunk.   Ezek közül az $\frac{1-\sqrt[]{5}}{2}$ kisebb, mint 1, tehát csak az $A=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$ lehet megoldás. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle x=A+2=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}+2=\frac{5+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ami valóban gyöke is az eredeti egyenletnek.