Kezdőlap


Feladat:	B.4329	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajnal Máté
Füzet:	2011/december, 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4329

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először $cos (π / 2^{2011})$ értékét írjuk fel a kívánt módon. Ehhez teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} 2 cos \frac{π}{2^{n + 1}} = \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{2}}}, \end{matrix}

ahol a jobb oldalon összesen

n

darab négyzetgyökjel van.
Az állítás

n = 1

-re igaz, mert

2 cos (\frac{π}{4}) = \sqrt[]{2}

. Tegyük fel, hogy

n = k

-ra helyes a képlet. A kétszeres szögek koszinuszára vonatkozó

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

összefüggésből következik, hogy ha

cos x

értéke nem negatív, akkor

\begin{matrix} cos x = \sqrt[]{\frac{cos 2 x + 1}{2}}, azaz 2 cos x = \sqrt[]{2 + 2 cos 2 x} . \end{matrix}

Mivel

cos (\frac{π}{2^{k + 1}})

értéke bármely

k > 0

egész szám esetén pozitív, az utóbbi formulát alkalmazhatjuk

x = \frac{π}{2^{k + 1}}

-re. Ebből az indukciós feltevést felhasználva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 cos \frac{π}{2^{k + 1}} = \sqrt[]{2 + 2 cos \frac{π}{2^{k}}} = \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{2}}}, \end{matrix}

ahol a jobb oldalon most már összesen

k

darab négyzetgyökjel áll. Ennek alapján tehát

\begin{matrix} cos \frac{π}{2^{2011}} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{2}}}, \end{matrix}

ahol a jobb oldalon összesen

2010

darab négyzetgyökjel van.
Mivel

sin (π / 2^{2011}) > 0

, a

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

összefüggésből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin \frac{π}{2^{2011}} = \sqrt[]{1 - cos^{2} \frac{π}{2^{2011}}} = \sqrt[]{1 - \frac{2 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{2}}}{4}} = \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{2}}}}{2}, \end{matrix}

ahol a jobb szélen a számlálóban összesen ismét

2010

darab négyzetgyökjel található.
A

sin (π / 2^{2011})

értékének ez a felírása megfelel a feltételeknek, mert a képletben csak a 2 számjegy, valamint az alapműveletek és négyzetgyökjelek szerepelnek.