Kezdőlap


Feladat:	B.4328	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodai Kristóf , Schwarcz Gergő
Füzet:	2011/december, 529 - 530. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometriával, Térfogat, Feladat, Szabályos sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4328

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a $b$ oldalú ötszöget teljesen körbeforgatjuk az átlója körül, akkor a keletkező forgástest olyan, mintha a három oldalból és egy átlóból álló trapézt forgatnánk.

A forgástestek térfogata egyenlő a forgatott sokszög területének és a súlypont által bejárt ívhossznak a szorzatával (Papposz‐Guldin-tétel):

V = T \cdot R_{S} \cdot α

α = 2 π

, mert teljesen körbeforgatjuk.

R_{S}

a súlypont távolsága a tengelytől.
Az

a

oldalú szabályos ötszög területe, háromszögekre bontással:

\begin{matrix} T_{a} = \frac{5 a^{2} tg 54^{\circ}}{4} . \end{matrix}

Súlypontjának távolsága a forgástengelytől, ami itt az egyik oldal:

R_{S a} = \frac{a}{2} tg 54^{\circ}

. Így az

a

oldalú szabályos ötszög oldala körüli megforgatásakor kapott test térfogata:

\begin{matrix} V_{a} = T_{a} R_{S a} 2 π = \frac{5 a^{2} tg 54^{\circ}}{4} \cdot \frac{a}{2} tg 54^{\circ} \cdot 2 π . \end{matrix}

b

oldalú szabályos ötszög átlója, egyben a kapott trapéz alapja:

c = 2 b sin 54^{\circ}

, a trapéz magassága,

h = b sin 72^{\circ}

, területe pedig

\begin{matrix} T_{b} = \frac{b + c}{2} \cdot h = \frac{b + 2 b sin 54^{\circ}}{2} \cdot b sin 72^{\circ} . \end{matrix}

b

c

alapú,

h

magasságú trapéz súlypontja a hosszabbik (

c)

alaptól

R_{S b} = \frac{h}{3} \cdot \frac{2 b + c}{b + c}

távolságra van. Ebbe beírva az előbb megkapott értékeket:

\begin{matrix} R_{S b} = \frac{b sin 72^{\circ}}{3} \cdot \frac{2 b + 2 b sin 54^{\circ}}{b + 2 b sin 54^{\circ}} . \end{matrix}

Így a

b

oldalú szabályos ötszög átlója körüli megforgatásakor kapott test térfogata:

\begin{matrix} V_{b} = T_{b} R_{S b} 2 π = \frac{b + 2 b sin 54^{\circ}}{2} \cdot b sin 72^{\circ} \cdot \frac{b sin 72^{\circ}}{3} \cdot \frac{2 b + 2 b sin 54^{\circ}}{b + 2 b sin 54^{\circ}} \cdot 2 π . \end{matrix}

A feladat feltétele szerint:

V_{a} = V_{b}

, amiből az egyszerűsítések és összevonások után:

\begin{matrix} \frac{2}{3} b^{3} sin^{2} 72^{\circ} \cdot (1 + sin 54^{\circ}) = \frac{5}{4} a^{3} tg^{2} 54^{\circ} . \end{matrix}

A szögfüggvények pontos értékei:

\begin{matrix} sin 72^{\circ} = \sqrt[]{\frac{5}{8} + \frac{\sqrt[]{5}}{8}}, sin 54^{\circ} = \frac{1}{4} (1 + \sqrt[]{5}), tg 54^{\circ} = \sqrt[]{1 + \frac{2}{\sqrt[]{5}}} . \end{matrix}

Ezeket beírva és az egyszerűsítéseket elvégezve:

\begin{matrix} b^{3} (3 \sqrt[]{5} + 5) = 6 a^{3} (\sqrt[]{5} + 2), amiből \frac{a^{3}}{b^{3}} = \frac{3 \sqrt[]{5} + 5}{6 \sqrt[]{5} + 12} . \end{matrix}

A keresett arány:

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt[]{5} + 5}{6 \sqrt[]{5} + 12}} \approx 0, 772. \end{matrix}

Schwarz Gergő
dolgozata alapján