A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az egyenlőszárú háromszög és szárainak felezőpontja legyen , illetve , a háromszög súlypontja pedig (1. ábra). Felhasználva, hogy a súlypont harmadolja a súlyvonalakat, valamint azt, hogy egyenlőszárú háromszögben a szárakhoz tartozó súlyvonalak is egyenlők, kapjuk, hogy Ezek alapján ha adott az súlyvonal, továbbá a szög, akkor a szerkesztést a következő módon végezhetjük. Felvesszük az szakaszt és megszerkesztjük ennek -hez közelebbi harmadolópontját, ami megegyezik -sel. Ezután az félegyenessel az adott szöget bezáró félegyenest indítunk -ból (erre két lehetőség van), ezen kell lennie a és pontoknak. Mivel az középpontú sugarú körön is rajta van, és közös pontjaként megkapjuk -t. Ezután a szakasz -en túli meghosszabbítására kétszeresét felmérve kapjuk -t. Végül az és egyenesek metszéspontja adja a háromszög csúcsát.
1. ábra 2. ábra Az így szerkesztett háromszög szimmetrikus az szakasz felezőmerőlegesére, ezért egyenlőszárú. Az is nyilvánvaló, hogy . Ha bevezetjük az jelölést, akkor , így a szinusztételt az és a háromszögekben felírva kapjuk, hogy | | Ezért fele olyan hosszú, mint a háromszög szárai, vagyis oldalfelezőpont. Akkor viszont a szimmetria miatt is az, tehát valóban súlyvonala a szerkesztett háromszögnek. A megoldások száma és közös pontjainak számától függ. A szimmetria miatt a két félegyenes közül elég az egyiket tekintenünk. Ha az pontból a körhöz húzott egyik érintő érintési pontja (2. ábra), akkor az derékszögű háromszögben , azaz az érintő az félegyenessel -os szöget zár be. Ezért esetén a feladatnak nincsen megoldása. Ha , akkor egy megoldás van, ha pedig , akkor két különböző megoldást kapunk.
|