Feladat:	B.4492	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Venczel Tünde
Füzet:	2013/szeptember, 348. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Tizes alapú számrendszer, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: B.4492

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy számjegy, azaz egy egyjegyű szám ötszörösének az értéke $0\cdot 5=0$-tól $9\cdot 5=45$-ig terjedhet, utolsó számjegye pedig 0 vagy 5. Így egy szám ötszörösében egy adott helyiértéken álló számjegy az eredeti számban azonos helyiértéken álló számjegy ötszörösének az egyesek helyiértékén álló számjegyéből és ‐ mivel egyjegyű számok ötszörösei legfeljebb kétjegyűek ‐ az eggyel kisebb helyiértéken álló számjegy ötszörösének a tízesek helyiértékén lévő jegyéből tevődik össze. Ezek közül az azonos helyiértékről származó számjegy 0 vagy 5, tehát legfeljebb 5, a következő helyiértékről származó számjegy pedig egy 0 és 4 közötti egész szám, mivel a teljes szám legfeljebb 45. Ezeket összeadva azt kapjuk, hogy minden számjegyére jutó érték legfeljebb 9, aminek a felírásához elég ez az egy számjegy, tehát így ez az érték nem fogja befolyásolni a nagyobb helyiértékeken álló számjegyeket. Tehát, ha $a$ minden $s$ számjegyéhez hozzárendeljük az $5s$-ben a tízesek és az egyesek helyén álló számjegyek $f\left(s\right)$ összegét, akkor $5a$ számjegyeinek az összege éppen az $a$ szám számjegyeihez rendelt $f\left(s\right)$ értékeknek az összege, ami nem függ az $a$ számjegyeinek sorrendjétől.