A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Indirekt bizonyítunk: tegyük fel, hogy , , , természetes számok, , és Feltehetjük, hogy a törtek nem egyszerűsíthetők, azaz . Beszorzás után Az egyenlőség jobb oldala osztható -tel, tehát a bal oldal is; viszont tudjuk, hogy és relatív prímek, tehát . Hasonlóan az egyenlőség jobb oldala -tel is osztható, tehát a bal oldal is. Itt viszont tudjuk, hogy és relatív prímek, emiatt . Két pozitív egész szám akkor és csak akkor lehet egymásnak kölcsönösen osztója, ha egyenlőek. Ennek megfelelően az egyenlőség mindkét oldalát eloszthatjuk -tel. Kapjuk, hogy Mivel , és a négyzetszámok lehetséges maradékai -tel osztva 0, 1, 2, 4, a két négyzetszám összege csak úgy lehet -tel osztható, ha mindkettő -tel osztható. Ha viszont és osztható -tel, akkor a négyzetük -cel is. Így a jobb oldalon is osztható -tel. Ezzel viszont a , , illetve , számpárok relatív prím tulajdonsága nem teljesülne. A kapott ellentmondás szerint tehát a nem írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.
Megjegyzés. Hasonló megoldáshoz juthatunk a hármas maradékok vizsgálatával, vagy éppen arra a tételre való pontos hivatkozással, hogy egy pozitív egész szám csak akkor írható fel két egész szám négyzetének összegeként, ha prímtényezős felbontásában minden alakú prím páros hatványon szerepel. Az ilyen megoldásokra azonban csak abban az esetben lehetett teljes pontszámot kapni, amennyiben indokolták a versenyzők az alkalmazhatóságát racionális esetre is.
|
|