Feladat:	B.4488	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máté Gergely
Füzet:	2013/szeptember, 347. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Racionális számok és tulajdonságaik, Oszthatósági feladatok, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: B.4488

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Indirekt bizonyítunk: tegyük fel, hogy $p$, $q$, $r$, $s$ természetes számok, $q\cdot s\ne 0$, és $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{p}{q}\right)}^2+{\left(\frac{r}{s}\right)}^2=168.}\end{array}$ Feltehetjük, hogy a törtek nem egyszerűsíthetők, azaz $\left(p\mathrm{,}q\right)=\left(r\mathrm{,}s\right)=1$. Beszorzás után $\begin{array}{c}{\displaystyle p^2{s}^2+r^2{q}^2=168\cdot q^2{s}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlőség jobb oldala osztható $q^2$-tel, tehát a bal oldal is; viszont tudjuk, hogy $p$ és $q$ relatív prímek, tehát $q^2\mid s^2$. Hasonlóan az egyenlőség jobb oldala $s^2$-tel is osztható, tehát a bal oldal is. Itt viszont tudjuk, hogy $s$ és $r$ relatív prímek, emiatt $s^2\mid q^2$. Két pozitív egész szám akkor és csak akkor lehet egymásnak kölcsönösen osztója, ha egyenlőek. Ennek megfelelően az egyenlőség mindkét oldalát eloszthatjuk $q^2=s^2$-tel. Kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle p^2+r^2=168\cdot q^2\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $168=2^3\cdot 3\cdot 7$, és a négyzetszámok lehetséges maradékai $7$-tel osztva 0, 1, 2, 4, a két négyzetszám összege csak úgy lehet $7$-tel osztható, ha mindkettő $7$-tel osztható. Ha viszont $p$ és $r$ osztható $7$-tel, akkor a négyzetük $49$-cel is. Így a jobb oldalon $q$ is osztható $7$-tel. Ezzel viszont a $p$, $q$, illetve $r$, $s$ számpárok relatív prím tulajdonsága nem teljesülne. A kapott ellentmondás szerint tehát a $168$ nem írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.   Megjegyzés. Hasonló megoldáshoz juthatunk a hármas maradékok vizsgálatával, vagy éppen arra a tételre való pontos hivatkozással, hogy egy pozitív egész szám csak akkor írható fel két egész szám négyzetének összegeként, ha prímtényezős felbontásában minden $4k-1$ alakú prím páros hatványon szerepel. Az ilyen megoldásokra azonban csak abban az esetben lehetett teljes pontszámot kapni, amennyiben indokolták a versenyzők az alkalmazhatóságát racionális esetre is.