Feladat:	B.4436	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Tamás
Füzet:	2013/szeptember, 343. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: B.4436

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vezessük be a következő jelöléseket: $p=6841$, $q=9973$, ahol $p$ és $q$ prímszámok. Eszerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{px-1}{q}+\frac{qy-1}{p}=z\mathrm{.}}\end{array}$ Hozzuk közös nevezőre a bal oldali két törtet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{p\left(px-1\right)+q\left(qy-1\right)}{pq}=z\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $z$ egész, a bal oldalon is egész szám van, így a számláló biztosan osztható $p$-vel. Mivel $p\left(px-1\right)$ osztható $p$-vel, így $q\left(qy-1\right)$ is. Viszont $\left(p;q\right)=1$, ezért $p\mid \left(qy-1\right)$. Ekkor $p\mid \left(px+qy-1\right)$ is igaz. Ugyanígy belátható, hogy $q\mid \left(px-1\right)$, amiből $q\mid \left(px+qy-1\right)$ is igaz. Ezekből viszont következik, hogy $pq\mid \left(px+qy-1\right)$, hiszen $\left(p;q\right)=1$. A $pq$ osztó nem lehet nagyobb, mint a $px+qy-1$ többszörös: $\begin{array}{c}{\displaystyle px+qy-1\ge pq\Rightarrow px+qy>pq\mathrm{.}}\end{array}$ Osztva $pq$-val: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{q}+\frac{y}{p}=\frac{x}{9973}+\frac{y}{6841}>1.}\end{array}$ Ezzel az állítást igazoltuk, és azt is beláttuk, hogy bármilyen két különböző $p$ és $q$ prímszám esetén fennáll.