Kezdőlap


Feladat:	B.4415	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szilágyi Gergely Bence
Füzet:	2013/szeptember, 341 - 343. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Thalesz tétel és megfordítása, Vektorok, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: B.4415

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy helyesbítéssel kell kezdenünk. A feladat pontatlanul lett kitűzve. Az adott körszeletbe ugyanis végtelen sok különböző érintő kör írható. A megoldás során, mint ahogy azt a legtöbb megoldó is tette, feltételezzük, hogy a lehető legnagyobb ilyen körről van szó, melyet

k_{4}

-gyel jelölünk.
Jelölje

i = 1,2,3,4

esetén a

k_{i}

kör középpontját

O_{i}

, a szóban forgó közös érintőt

e

i = 1,2,4

esetén

E_{i}

pedig azt a pontot, amelyben az

e

egyenes érinti a

k_{i}

kört. Az

e

egyenes és a

k_{3}

kör metszéspontjai legyenek

F

és

G

. Mivel

k_{4}

a körszeletbe írható legnagyobb sugarú kör, azért

E_{4}

F G

szakasz felezőpontja. Tudjuk, hogy érintkező körök esetén az érintési pont és a két körközéppont kollineáris, továbbá a szimmetria miatt az

O_{3} O_{4}

egyenes átmegy

F G

felezőpontján, ezért

O_{3} E_{4} = r_{3} - 2 r_{4}

. Mivel

A B + B C = A C

, azért

r_{3} = r_{1} + r_{2}

, tehát

O_{3} E_{4} = r_{1} + r_{2} - 2 r_{4}

, továbbá

O_{1} O_{3} = r_{3} - r_{1} = r_{2}

. A

k_{1}

és

k_{2}

körök szerepe felcserélhető, így feltehetjük, hogy

r_{1} \leq r_{2}

1. ábra

r_{1} = r_{2} = \frac{r_{3}}{2}

, akkor az

e

egyenes

párhuzamos az

A C

szakasszal (1. ábra). Ezért ekkor

B E_{4} = r_{1}

, és így

\begin{matrix} r_{4} = O_{4} E_{4} = \frac{r_{3} - B E_{4}}{2} = \frac{r_{3}}{4}, azaz r_{1} \cdot r_{2} = \frac{r_{3}^{2}}{4} = r_{3} \cdot r_{4}, \end{matrix}

tehát igaz a feladat állítása.

2. ábra

r_{1} < r_{2}

, akkor az

e

egyenes metszi az

A C

egyenest egy

M

pontban (2. ábra). Legyen

M O_{1} = x

. Az

O_{1} E_{1}

O_{2} E_{2}

és

O_{3} E_{4}

szakaszok merőlegesek az

e

egyenesre, tehát egymással párhuzamosak. Ezért a párhuzamos szelők tétele szerint

O_{1} E_{1} : O_{1} M = O_{2} E_{2} : O_{2} M

és

O_{1} E_{1} : O_{1} M = O_{3} E_{4} : O_{3} M

, azaz

\begin{matrix} \frac{r_{1}}{x} = \frac{r_{2}}{x + r_{1} + r_{2}} és \frac{r_{1}}{x} = \frac{r_{1} + r_{2} - 2 r_{4}}{x + r_{2}} . \end{matrix}

Az első egyenlőségből kapjuk, hogy

\begin{matrix} x = \frac{r_{1} (r_{1} + r_{2})}{r_{2} - r_{1}}, \end{matrix}

amit a másodikba beírva és rendezve

\begin{matrix} r_{4} = \frac{(r_{1} + r_{2}) x - r_{1} (x + r_{2})}{2 x} = \frac{r_{1} r_{2} \frac{r_{1} + r_{2}}{r_{2} - r_{1}} - r_{1} r_{2}}{2 \frac{r_{1} (r_{1} + r_{2})}{r_{2} - r_{1}}} = \frac{r_{1} r_{2}}{r_{1} + r_{2}} = \frac{r_{1} r_{2}}{r_{3}}, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó állítás.