Feladat:	B.4388	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2013/szeptember, 340. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/október: B.4388

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $ADF$ és $DBE$ háromszögek hasonlóak az $ABC$ háromszöghöz. A szokásos jelölésekkel $AFD\sphericalangle =DEB\sphericalangle =\gamma$. Az $ADF$, illetve $DEB$ körökhöz a $D$ pontban húzott érintők tehát az $AB$ egyenessel $\gamma$ szöget zárnak be. Mivel $\gamma <{90}^{\circ }$, ezek a körök az $AB$ egyenesnek $C$-t tartalmazó oldalán metszik egymást, így a $G$ pont is az $AB$ egyenesnek erre az oldalára esik. Az $ABEF$ négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha $CEF\sphericalangle =\alpha$ és $CFE\sphericalangle =\beta$ (ez a két utóbbi feltétel persze ekvivalens egymással), vagyis ha az $EF$ egyenes az $ADF$ és $DBE$ körök közös érintője.     Ekkor a $G$ pont nyilván az $EFD$ háromszög belsejébe esik. Feltehetjük tehát, hogy a $G$ pont az $ABC$ háromszög belső pontja, ellenkező esetben ugyanis sem $ABEF$ nem lehet húrnégyszög, sem pedig $G$ nem lehet rajta a $CD$ szakaszon. Az ábra alapján ekkor $EGD\sphericalangle ={180}^{\circ }-\beta$ és $FGD\sphericalangle ={180}^{\circ }-\alpha$, látható, hogy $EGF\sphericalangle ={180}^{\circ }-\gamma$, vagyis az $ECFG$ négyszög húrnégyszög. Összefoglalva: az $ABEF$ négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha $CFE\sphericalangle =\beta$, vagyis ha $CGE\sphericalangle =\beta$. Figyelembe véve, hogy $EGD\sphericalangle ={180}^{\circ }-\beta$, ez ekvivalens azzal, hogy a $CGD\sphericalangle$ egyenesszög, vagyis hogy a $G$ pont rajta van a $CD$ szakaszon.