Feladat:	2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 5. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Honyek Gyula ,  Vankó Péter ,  Vigh Máté
Füzet:	2011/november, 498 - 499. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Mechanikai mérés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/november: 2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 5. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 2. feladat. Mechanikai fekete doboz: csőben rögzített golyó     4. ábra   A mechanikai fekete doboz egy zárt alumíniumcsőből és egy, a cső belsejében ismeretlen helyen rögzített golyóból állt. A 30 cm hosszú csövön centiméterenként lyukak (összesen 16 db) voltak fúrva, melyek segítségével a csövet vízszintes tengely körüli lengésbe lehetett hozni. A versenyzőknek roncsolásmentes mérésekkel kellett a rendszer olyan tulajdonságait megállapítani, mint $\left(i\right)$ a tömegközéppont helye, $\left(ii\right)$ a cső $M$ és a golyó $m$ tömegének aránya és $\left(iii\right)$ a golyó csövön belüli helyzete. Ezen kívül meghatározandó volt $\left(iv\right)$ a nehézségi gyorsulás értéke is. Konkrét mérési utasításokat ezúttal nem kaptak a versenyzők, csak a felhasználható eszközök jelenthettek támpontot a mérési módszerek kitalálásában: asztalra rögzíthető tengely a rúd lengetéséhez, vonalzó, stopper, ragasztószalag a tengely asztalra rögzítéséhez, illetve egy méternyi fonál. $\left(i\right)$ A tömegközéppont $x_{TK}=\left(mz+ML/2\right)/\left(m+M\right)$ helyét a diákok a legkülönbözőbb módokon határozták meg: többen az asztal szélén egyensúlyozták ki a csövet, mások egy vagy két szál fonállal függesztve fel a rendszert azt használták ki, hogy a tömegközéppont mindig a felfüggesztési pont alatt helyezkedik el. ($ii$‐$iv$) Nehezebb feladat volt a rúd és a cső tömegarányának, a golyó helyzetének és a $g$ nehézségi gyorsulásnak a meghatározása. A kis lengéseket végző cső fizikai ingának tekinthető, melynek lengésideje (a 4. ábra jelöléseit használva) $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{{\Theta }_O}{\left(M+m\right)gR}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol a Steiner-tétel értelmében ${\Theta }_O={\Theta }_{TK}+\left(M+m\right)R^2$. A rendszer tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka pedig (a golyóra a pontszerű közelítést alkalmazva): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_{TK}=m{\left(z-x_{TK}\right)}^2+M{\left(x_{TK}-\frac{L}{2}\right)}^2+\frac{1}{12}M{L}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A periódusidő tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle T\left(R\right)=2\pi \sqrt[]{\frac{{\Theta }_{TK}+\left(M+m\right)R^2}{\left(M+m\right)gR}}=2\pi \sqrt[]{\frac{{\Theta }_{TK}}{\left(m+M\right)gR}+\frac{R}{g}}}\end{array}$ módon függ a felfüggesztési pont tömegközépponttól mért távolságától. Ez a kifejezés kis átalakítással a $\begin{array}{c}{\displaystyle T^{2}R=\frac{4{\pi }^2}{g}{R}^2+\frac{4{\pi }^2{\Theta }_{TK}}{\left(m+M\right)g}}\end{array}$ alakra hozható. A periódusidőt tehát az $R$ távolság függvényében megmérve, majd $T^{2}R$-et $R^2$ függvényében ábrázolva a mért pontok egy egyenesre illeszkednek, melynek meredekségéből a gravitációs gyorsulást, $g$-ből és a tengelymetszetből pedig a ${\Theta }_{TK}/\left(m+M\right)$ arányt lehet meghatározni. A tömegközéppontra vonatkozó egyenlet felhasználásával a kérdezett $m/M$ tömegarány és a golyó $z$ helyzete innen már kiszámolható.   Másik lehetséges eljárás kínálkozik a rendszer paramétereinek meghatározására, ha észrevesszük, hogy a kis lengések $T$ periódusideje a felfüggesztési pont $R$ helyzetének függvényében egy minimummal rendelkezik. A $T\left(R\right)$ görbe minimumhelyéből és a minimális lengésidőből ugyancsak kiszámolhatóak a kérdéses mennyiségek, de a lapos minimum miatt ez az eljárás pontatlanabb, mint az elsőként ismertetett módszer, ezért ezt az alternatív megoldást a rendezők csak fele pontszámmal ,,jutalmazták''.