Kezdőlap


Feladat:	B.4325	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter , Bálint Csaba , Bősze Zsuzsanna , Damásdi Gábor , Énekes Péter , Fonyó Viktória , Győrfi Mónika , Hegedűs Csaba , Herczeg József , Homonnay Bálint , Kabos Eszter , Kiss Robin , Medek Ákos , Neukirchner Elisabeth , Perjési Gábor , Rábai Domonkos , Sieben Bertilla , Simig Dániel , Strenner Péter , Szilágyi Gergely Bence , Tossenberger Tamás , Viharos Andor , Zilahi Tamás
Füzet:	2011/december, 527 - 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Ellipszis, mint mértani hely, Síkgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4325

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a háromszögre vonatkozó állítás igaz, a tetraéderrel kapcsolatos pedig hamis.
A háromszög esetén legyen a $B P$ és $A C$ egyenesek metszéspontja $D$ . Mivel $P$ a háromszög belső pontja, azért $P$ a $B D$ szakasznak, $D$ pedig az $A C$ szakasznak belső pontja (1. ábra). Az $A D P$ és a $B D C$ háromszögekben a háromszög-egyenlőtlenség alapján $A D + D P > P A$ és $D C + C B > D B$ . Ezért

\begin{matrix} P A + P B < A D + D P + P B = A D + D B < A D + D C + C B = A C + C B, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.

1. ábra

2. ábra

Tetraéder esetén elegendő egy ellenpéldát adnunk. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy ha olyan tetraédert választunk, melynek három rövid (

A B

A D

és

B D

) és három hosszú (a

C

-ből kiinduló) éle van,

P

pedig a

C

csúcshoz közel helyezkedik el, akkor a

P A

P B

és

P C

szakaszok közül az első kettő hosszú, a harmadik pedig rövid lesz, míg a

D A

D B

és

D C

szakaszok közül az első kettő rövid, a harmadik pedig hosszú lesz (2. ábra), ezért a

P A + P B + P C < D A + D B + D C

egyelőtlenség nem áll fenn.
Precízen koordináták segítségével adhatunk meg egy ilyen ellenpéldát. Tekintsük azt a tetraédert, amelynek csúcsai

A (- \sqrt[]{3}; - 1; 0)

B (\sqrt[]{3}; - 1; 0)

C (0; 0; 11)

és

D (0; 2; 0)

. Ennek a tetraédernek

P (0; 0; 10)

nyilván belső pontja. A két pont távolságára vonatkozó képlet alapján

\begin{matrix} D A + D B + D C = 2 \sqrt[]{12} + \sqrt[]{125} < 8 + 12 = 20 < 2 \sqrt[]{104} + 1 = P A + P B + P C, \end{matrix}

vagyis a belső pontnak három csúcstól vett távolságösszege nagyobb, mint a negyedik csúcsnak ugyanattól a három csúcstól vett távolságösszege.