Kezdőlap


Feladat:	B.4324	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sagmeister Ádám
Füzet:	2011/december, 526 - 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Húrnégyszögek, Feladat, Forgatva nyújtás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4324

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrának megfelelően legyen $M$ a magasságpont, $I$ és $H$ a másik két magasság talppontja, $G$ pedig a $B C$ oldal felezőpontja, valamint $C A B ∢ = α$ . Az $A I M H$ négyszög húrnégyszög, hiszen $A I M ∢ + A H M ∢ = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ , továbbá $I M H ∢ = 180^{\circ} - α = E M F ∢$ , mivel $I M H ∢$ és $E M F ∢$ csúcsszögek. Az $F G$ szakasz a $B C I ▵$ középvonala, mivel $F$ és $G$ oldalfelező pontok. Ezért $M F G ∢ = B I C ∢ = 90^{\circ}$ .

Hasonlóan

E G

B C H ▵

középvonala, ezért

M E G ∢ = B H C ∢ = 90^{\circ}

.
Nyilván

M D G ∢ = 90^{\circ}

, hiszen

M D

a magasságvonal része.
Az

M G

fölé emelt Thalész-körön így rajta van

D

E

és

F

, tehát az

E

D

F

és

M

pontok egy körön helyezkednek el, vagyis az

E D F M

négyszög húrnégyszög. Így szemben lévő szögeire:

E D F ∢ = 180^{\circ} - E M F ∢ = α

, vagyis

C A B ∢ = α = E D F ∢

. Ezzel igazoltuk az állítást.