Feladat:	B.4382	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Juhász Dániel ,  Tóth Balázs
Füzet:	2012/március, 152 - 153. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Négyzetszámok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/október: B.4382

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük a feladatban szereplő egész számot $d$-vel. A kapott egyenletet gyöktelenítsük; szorozzuk be $2$-vel, rendezzük át, majd emeljük négyzetre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{4x+1-\sqrt[]{8x+1}}{2}}& {\displaystyle =d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4x+1-\sqrt[]{8x+1}}& {\displaystyle =2d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4x+1-2d}& {\displaystyle =\sqrt[]{8x+1}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 16x^2+1+4d^2+8x-4d-16xd}& {\displaystyle =8x+1.}\hfill \end{array}}$ Rendezés és $4$-gyel történő egyszerűsítés után $4x^2+d^2-d-4xd=0$. Most mindkét oldalhoz hozzáadva $d$-t látjuk, hogy a bal oldalon teljes négyzet maradt. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4x^2+d^2-4xd}& {\displaystyle =d\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(2x-d\right)}^2}& {\displaystyle =d\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A teljes négyzet mindkét tagja egész, így tehát $d$ biztosan négyzetszám.     II. megoldás. Adjunk meg úgy egy másodfokú egyenletet, hogy ez a kifejezés legyen az egyik megoldás. Itt az $x$ természetesen már egész paraméter. A másodfokú egyenletben a szokásos jelölések mellett az $a$-t választhatjuk $1$-nek, a $b$-t pedig $-\left(4x+1\right)$-nek. A diszkrimináns $8x+1$, így a $b$ választása miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle 8x+1={\left(4x+1\right)}^2-4c\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $c=4x^2$. A másodfokú egyenlet tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2-\left(4x+1\right)y+4x^2=0.}\end{array}$ Ebben az egyenletben az $x$ és az $y$ is egész szám. Oldjuk meg most ezt az egyenletet $x$-re. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4x^2-4yx+y^2-y}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{4y\pm \sqrt[]{16y^2-16y^2+16y}}{8}}& {\displaystyle =\frac{y}{2}\pm \frac{\sqrt[]{y}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Így $2x=y\pm \sqrt[]{y}$, ahol $2x$ és $y$ egészek, tehát $\sqrt[]{y}$ is egész. Ekkor viszont a négyzete, $y$ valóban négyzetszám.