Kezdőlap


Feladat:	B.4318	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter , Bősze Zsuzsanna , Homonnay Bálint , Kiss Robin , Máthé László , Sieben Bertilla , Simig Dániel , Strenner Péter , Varnyú József , Viharos Andor , Weimann Richárd
Füzet:	2011/december, 525 - 526. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mértani helyek, Tetraéderek, Középvonal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4318

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A C$ , $B C$ , $B D$ és $A D$ élek felezőpontjai legyenek rendre $X$ , $Y$ , $Z$ és $V$ . Ekkor $X Y$ és $Z V$ középvonal az $A B C$ , illetve $A B D$ háromszögben. Ezért mindkét szakasz párhuzamos az $A B$ éllel és fele olyan hosszú mint az, vagyis az $X Y$ és $Z V$ szakaszok egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Tehát az $X Y Z V$ négyszög paralelogramma. Megmutatjuk, hogy ennek a paralelogrammának a pontjai alkotják a keresett mértani helyet.

Legyen

P

A B

él egy tetszőleges rögzített pontja. Tegyük fel, hogy

P

A B

szakaszt

α : (1 - α)

arányban osztja. Ekkor a

C P

szakasz

P'

felezőpontja is

α : (1 - α)

arányban osztja az

X Y

szakaszt, valamint a

D P

szakasz

P''

felezőpontja is

α : (1 - α)

arányban osztja az

V Z

szakaszt. Itt

P' P''

C D P

háromszög

C D

-vel párhuzamos középvonala. Így miközben a

Q

pont befutja a

C D

élt, aközben a

P Q

szakasz felezőpontja éppen a

P' P''

szakaszt futja be, amely része az

X Y Z V

paralelogrammának.
Látjuk tehát, hogy a mértani hely minden pontja az

X Y Z V

paralelogrammához tartozik. Mivel a

P

pont, vagyis a

0 \leq α \leq 1

szám megfelelő választása esetén a paralelogramma minden, az

X V

oldallal párhuzamos metszete megkapható, mint

P' P''

szakasz, ezért az is látszik, hogy a paralelogramma minden pontja a mértani helyhez tartozik.

Weimann Richárd
dolgozata alapján