Feladat:	B.4377	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Szabolcs
Füzet:	2012/március, 150 - 151. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszögek geometriája, Pont körüli forgatás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: B.4377

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladatot vektorok bevezetésével oldjuk meg.   Irányítsuk a vektorokat a következőképpen: $\overrightarrow{AB}=\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$, $\overrightarrow{AC}=\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$,   továbbá e két vektorral $\overrightarrow{BC}=\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}=\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}-\text{c}$. Egy tetszőleges $\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}$ vektor ${60}^{\circ }$-os elforgatottját ${\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}}_{+{60}^{\circ }}$ vagy ${\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}}_{-{60}^{\circ }}$ jelölje aszerint, hogy pozitív vagy negatív irányban forgattuk el ${60}^{\circ }$-kal. A ${60}^{\circ }$-os forgatásokból következik, hogy tetszőleges síkbeli $\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}$ vektorra ${\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}}_{+{60}^{\circ }}+{\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}}_{-{60}^{\circ }}=\text{<span style="font-weight: bold;">v</span>}$, ezt a tényt a megoldás során többször is felhasználjuk. Most írjuk fel a feladatban szereplő szakaszok vektorait az előbbiek figyelembevételével:     $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{BG}=\frac{\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BD}}{2}=\frac{{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}}_{-{60}^{\circ }}-{\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{+{60}^{\circ }}}{2}=\frac{{\left(\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}-\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\right)}_{-{60}^{\circ }}-{\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{+{60}^{\circ }}}{2}=\frac{{\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{-{60}^{\circ }}-\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Most a következő elforgatásokra támaszkodunk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \overrightarrow{CE}={\overrightarrow{CB}}_{+{60}^{\circ }}={\left(\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}-\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\right)}_{+{60}^{\circ }};\overrightarrow{CF}={\overrightarrow{CA}}_{-{60}^{\circ }}={\left(-\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\right)}_{-{60}^{\circ }}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{CH}=\frac{\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}}{2}=\frac{{\left(\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}-\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\right)}_{+{60}^{\circ }}-{\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{-{60}^{\circ }}}{2}=\frac{{\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{+{60}^{\circ }}-\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Végül az $\overrightarrow{AI}$ vektort írjuk fel a választott alapvektorok elforgatottjainak segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{{\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{+{60}^{\circ }}+{\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{-{60}^{\circ }}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Forgassuk el az $\overrightarrow{AI}$ vektort pozitív irányba ${120}^{\circ }$-kal. Ekkor a ${\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{+{60}^{\circ }}$ vektorból $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}-\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ vektort kapjuk. (Egy vektor összesen ${180}^{\circ }$-os elforgatottja az ellentettje.) Hasonlóan a ${\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{-{60}^{\circ }}$ vektorból ${\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{+{60}^{\circ }}$ vektort kapunk.   Tehát az $\overrightarrow{AI}$ vektor $+{120}^{\circ }$-os elforgatottja éppen a $\overrightarrow{CH}$ vektor. Hasonlóan azonnal adódik, hogy az   $\overrightarrow{AI}$ vektor negatív irányú ${120}^{\circ }$-os elforgatottja a $\overrightarrow{BG}$ vektor, hiszen a ${\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{+{60}^{\circ }}$ elforgatottja ${\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}}_{-{60}^{\circ }}$, míg a ${\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}_{-{60}^{\circ }}$ elforgatottja $-\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$ vektor. A három vektor egymás elforgatottja, a hosszuk megegyezik. Azt is látjuk, hogy a vektorokat egymás után fűzve egy szabályos háromszöget kapunk.