Kezdőlap


Feladat:	B.4316	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zsakó András
Füzet:	2011/december, 524 - 525. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4316

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P$ az $A E$ és $B F$ egyenesek metszéspontja.

Azt fogjuk belátni, hogy az

A E

és

B F

egyenesek

45^{\circ}

-os szöget zárnak be egymással. Felhasználva, hogy

A B F ∢

tompaszög, ez azt jelenti majd, hogy a

P

pontból az

A B

szakasz

45^{\circ}

-os szögben látszik. Az

A B

-hez tartozó középponti szög

90^{\circ}

, a kerületi szög fele a középponti szögnek, tehát

P

rajta van az

A B C D

négyzet köré írt körön.
Vegyünk fel egy Descartes-féle koordináta-rendszert, amelyben

A B

párhuzamos az

x

tengellyel és

B C

párhuzamos az

y

tengellyel. Az origó helye nem fontos, mivel csak az iránytangensekkel fogunk dolgozni. Az

A E

egyenes iránytangense

tg α = - \frac{B E}{A B} = - \frac{1}{5}

, mert

E

ötödölőpont. Hasonlóan a

B F

egyenes iránytangense

\begin{matrix} tg β = - \frac{1}{\frac{2}{3}} = - \frac{3}{2}, mert C F = \frac{2}{3} C D = \frac{2}{3} B C . \end{matrix}

A két egyenes közötti szög mértéke

β - α

, illetve a kiegészítő szöge, ha ez esetleg tompaszögnek adódna. Addíciós képlettel dolgozva

\begin{matrix} tg (β - α) = \frac{tg β - tg α}{1 + tg β \cdot tg α} = \frac{- \frac{3}{2} - (- \frac{1}{5})}{1 + (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{1}{5})} = \frac{- \frac{13}{10}}{\frac{13}{10}} = - 1, \end{matrix}

vagyis a két egyenes valóban

45^{\circ}

-os szöget zár be egymással, az egyenesek az

A B C D

köré írt körén metszik egymást.

Megjegyzések. 1. A beküldött megoldások igen sokszínű képet mutattak. Voltak, akik koordináta-geometriai eszközökkel, hasonló háromszögek használatával, vagy éppen vektorokkal oldották meg a feladatot.
2. Az érdeklődő olvasók a feladat származtatását és további érdekes megoldásait megtalálhatják a
www.matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium webhelyen.