Feladat: B.4319 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2011/november, 478 - 479. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Magasságpont
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/december: B.4319

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük ki a papírlap egy (,,középen'' lévő) tetszőleges olyan O pontját, mely körül mint középpont körül rajzolt k kör is teljes egészében a papírlapon van.

 
 
1. ábra
 

Ezután az O pontból kicsinyítsük felére a háromszöget úgy, hogy a látható oldalszakaszokat felére kicsinyítjük, majd az így kapott szakaszokat meghosszabbítjuk. (Ezt a papírlapon meg tudjuk tenni, mert ha valamely AB szakasz két végpontja a papíron van, akkor nemcsak az OA és OB szakaszok, hanem egy kis környezetük is teljes egészében a papíron van, ezért az ismert szerkesztéssel megkaphatjuk a szakaszok felezőpontjait úgy, hogy a szerkesztéshez szükséges összes segédpont is elfér a papíron ‐ 1. ábra.) Ha a kicsinyített háromszög nem fér rá a körlapra, akkor ismételjük meg az eljárást még néhányszor egészen addig, amíg az 1:2n arányban lekicsinyített háromszög végül teljes egészében a k körlapra nem kerül.
 
 
2. ábra
 
 
3. ábra
 

Mivel az eredeti háromszög M magasságpontja a papíron volt, a kis háromszög M' magasságpontja
is a papírlapon lesz, hiszen az OM szakasznak arról az O' pontjáról van szó, amelyre OM'=OM2n. A kis háromszög magasságvonalait nem biztos, hogy a szokásos módon meg tudjuk szerkeszteni, mert elképzelhető, hogy a magasságok talppontjai közül némelyik nem fér rá a papírra. Viszont a 2. ábrán látható módon csak a k körlapon lévő pontokat felhasználva szerkeszthetünk a háromszög oldalaival párhuzamos, O-n átmenő egyeneseket. Az ezekre az egyenesekre a háromszög csúcsaiból állított merőlegesek a párhuzamosság miatt megegyeznek a kis háromszög magasságvonalaival. Ezeket a merőlegeseket a 3. ábrán látható módon csak a k körlapon lévő pontokat felhasználva szintén meg tudjuk szerkeszteni. A merőlegesek metszéspontja megadja az M' pontot. Ezután pedig az M' pontot O-ból 2n:1 arányban nagyítva megkapjuk a szerkesztendő M pontot.