Kezdőlap


Feladat:	B.4317	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sagmeister Ádám
Füzet:	2011/november, 476 - 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4317

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nevezőben szereplő négyzetgyökös kifejezések miatt $| x | < 1$ és $| y | < 1$ .
Először adjuk össze a két egyenletet:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} + \frac{x}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} - \frac{y}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} & = \frac{42}{12}, \\ \frac{1 + x}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} + \frac{1 - y}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} & = \frac{7}{2}, \\ \frac{{(\sqrt[]{1 + x})}^{2}}{\sqrt[]{1 + x} \cdot \sqrt[]{1 - x}} + \frac{{(\sqrt[]{1 - y})}^{2}}{\sqrt[]{1 - y} \cdot \sqrt[]{1 + y}} = \frac{\sqrt[]{1 + x}}{\sqrt[]{1 - x}} + \frac{\sqrt[]{1 - y}}{\sqrt[]{1 + y}} & = \frac{7}{2} . \end{matrix}

Most vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} - \frac{x}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} + \frac{y}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} & = \frac{28}{12}, \\ \frac{1 - x}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} + \frac{1 + y}{\sqrt[]{1 - y^{2}}} & = \frac{7}{3}, \\ \frac{{(\sqrt[]{1 - x})}^{2}}{\sqrt[]{1 + x} \cdot \sqrt[]{1 - x}} + \frac{{(\sqrt[]{1 + y})}^{2}}{\sqrt[]{1 - y} \cdot \sqrt[]{1 + y}} = \frac{\sqrt[]{1 - x}}{\sqrt[]{1 + x}} + \frac{\sqrt[]{1 + y}}{\sqrt[]{1 - y}} & = \frac{7}{3} . \end{matrix}

Vezessük be az

a

és

b

új változókat:

a = \frac{\sqrt[]{1 + x}}{\sqrt[]{1 - x}}

és

b = \frac{\sqrt[]{1 - y}}{\sqrt[]{1 + y}}

, ahol

a; b > 0

. Ekkor az egyenletrendszerünk:

\begin{matrix} a + b = \frac{7}{2}, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{7}{3} . \end{matrix}

Fejezzük ki

b

-t az első egyenletből:

b = \frac{7}{2} - a

. Ezt a második egyenletbe beírva:

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{a b} = \frac{\frac{7}{2}}{a (\frac{7}{2} - a)} = \frac{7}{3} . \end{matrix}

Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik:

\begin{matrix} a^{2} - \frac{7}{2} a + \frac{3}{2} = 0. \end{matrix}

Gyökei

a_{1} = 3

és

a_{2} = \frac{1}{2}

, a hozzájuk tartozó

b

értékek:

b_{1} = \frac{1}{2}

és

b_{2} = 3

.
Ezeket visszahelyettesítve és az eredeti változókat kifejezve az

x_{1} = \frac{4}{5}

y_{1} = \frac{3}{5}

és az

x_{2} = - \frac{3}{5}

y_{2} = - \frac{4}{5}

megoldásokat kapjuk, melyek megfelelnek a kikötéseknek és kielégítik az egyenletrendszert.