Kezdőlap


Feladat:	C.1046	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szilágyi Mónika
Füzet:	2011/november, 474 - 475. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Szabályos sokszögek geometriája, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: C.1046

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ oldalú szabályos sokszög belső szögeinek összege $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ , ezért egy szög nagysága

\begin{matrix} α (n) & = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}; és így \\ α (n + 3) & = \frac{(n + 3 - 2) \cdot 180^{\circ}}{n + 3}, \\ α (n - 2) & = \frac{(n - 2 - 2) \cdot 180^{\circ}}{n - 2} . \end{matrix}

Így az egyenlet a következő:

\begin{matrix} \frac{(n + 1) \cdot 180^{\circ}}{n + 3} - \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n} - \frac{(n - 4) \cdot 180^{\circ}}{n - 2} . \end{matrix}

A egyenlet mindkét oldalát szorozzuk

n (n - 2) (n + 3)

-mal:

\begin{matrix} [n (n - 2) (n + 1) \cdot 180] - [{(n - 2)}^{2} (n + 3) \cdot 180] = \\ = [{(n - 2)}^{2} (n + 3) \cdot 180] - [(n + 3) (n - 4) \cdot n \cdot 180] . \end{matrix}

Ebből kapjuk:

\begin{matrix} (n^{3} - n^{2} - 2 n) - (n^{3} - n^{2} - 8 n + 12) & = (n^{3} - n^{2} - 8 n + 12) - (n^{3} - n^{2} - 12 n), \\ 6 n - 12 & = 4 n + 12, \\ n & = 12. \end{matrix}

A keresett szabályos sokszög a szabályos tizenkétszög.