Feladat:	B.4383	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ficsor Luca
Füzet:	2012/február, 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Konvex négyszögek, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Körérintők
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/október: B.4383

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy körhöz bármely külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő. Legyen $EF=x$ és $GH=y$. Ennek megfelelően jelöljük az ábrákon a megfelelő érintőszakaszokat azonos betűkkel.     A négyszög oldalainak kétféle felosztását egyenlővé téve: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle AB}& {\displaystyle =d+c+x=h+y+e\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle BC}& {\displaystyle =b+c=e+f\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle CD}& {\displaystyle =a+b=g+f+y\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle AD}& {\displaystyle =d+a-x=h+g\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ A (2) egyenletből $b$-t kifejezve: $b=e+f-c$, ezt beírva a (3) egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle a+e+f-c=g+f+y\Rightarrow a+e-c=g+y\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Az (1) egyenletből $e$-t kifejezve: $e=d+c+x-h-y$, és ezt beírva az (5) egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle a+d+c+x-h-y-c=g+y\Rightarrow a+d+x-h-y=g+y\mathrm{.}}\end{array}$ (6) A (4) egyenletből $\left(a+d\right)$-t kifejezve: $a+d=h+g+x$, ezt beírva a (6) egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle h+g+x+x-h-y=g+y\mathrm{,}}\end{array}$ ezt rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x=2y\Rightarrow x=y\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel beláttuk, hogy a két szakasz egyenlő.