Feladat:	C.989	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Bálint
Füzet:	2012/február, 79. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Terület, felszín, Gömb és részei, Százalékszámítás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: C.989

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a gömb sugarát $R$-rel, középpontját $O$-val, a körlapok sugarát $r$-rel. Tekintsük az egyik körlapot, ezen a két átellenes érintési pont legyen $A$ és $B$.   Az $OAB$ sík a gömb és a dobókocka szimmetriája miatt egy négyzetet metsz ki a dobókockából, a négyzet oldalának hossza $2r$.   Az $AC$ átló hossza $AC=2r\sqrt[]{2}$, innen $AO=\frac{AC}{2}=r\sqrt[]{2}=R$. A hat körlap területének összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=6r^2\pi =6{\left(\frac{R\sqrt[]{2}}{2}\right)}^2\pi =3R^2\pi \mathrm{.}}\end{array}$ (1) Számítsuk ki a dobókocka teljes $F$ felszínét. A felszínt úgy kapjuk meg, hogy a gömb $F_{\text{g}}=4R^2\pi$ felszínéből kivonjuk a hat gömbszelet felszínét és hozzáadjuk a hat körlap területét. Egy gömbszelet felszíne $F_1=2\pi Rm$,   ahol $R$ a gömb sugara, $m$ a gömbszelet magassága: $m=R-r$, ahol $r=\frac{R\sqrt[]{2}}{2}$, ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle m=\left(R-\frac{R\sqrt[]{2}}{2}\right)=R\left(1-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)\mathrm{,}\text{és}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F_1=2\pi R^2\left(1-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)=R^2\pi \left(2-\sqrt[]{2}\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ Így a dobókocka felszíne: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F}& {\displaystyle =4R^2\pi -6R^2\pi \left(2-\sqrt[]{2}\right)+3R^2\pi =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =R^2\pi \left(4-12+6\sqrt[]{2}+3\right)=R^2\pi \left(6\sqrt[]{2}-5\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Végül számítsuk ki, hogy a hat körlap együttes területe hány százaléka a dobókocka teljes felszínének: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3R^2\pi }{R^2\pi \left(6\sqrt[]{2}-5\right)}=\frac{3\left(6\sqrt[]{2}+5\right)}{47}\approx 86\mathrm{,}08\%\mathrm{.}}\end{array}$