Kezdőlap


Feladat:	B.4255	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zsakó András
Füzet:	2010/december, 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Feladat, Indirekt bizonyítási mód, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: B.4255

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $2 n + 1$ és $3 n + 1$ négyzetszámok, létezik két pozitív egész szám, $a$ és $b$ úgy, hogy $2 n + 1 = a^{2}$ és $3 n + 1 = b^{2}$ . Észrevesszük, hogy

\begin{matrix} 5 n + 3 = 4 (2 n + 1) - (3 n + 1) = 4 a^{2} - b^{2} = (2 a - b) (2 a + b) . \end{matrix}

A tényezők közül

2 a + b

nyilván nagyobb, mint 1. Tételezzük fel, hogy

2 a - b = 1

. Akkor

2 a = b + 1

, ahonnan

4 a^{2} = b^{2} + 2 b + 1

. Beírva az eredeti feltételeket:

\begin{matrix} 8 n + 4 = 4 a^{2} = 3 n + 1 + 2 b + 1. \end{matrix}

Ezt rendezve, négyzetre emelve és ismét felhasználva

b

eredeti felírását

\begin{matrix} 5 n + 2 & = 2 b, \\ 25 n^{2} + 20 n + 4 & = 4 b^{2} = 12 n + 4, \\ 25 n^{2} + 8 n & = 0. \end{matrix}

A másodfokú egyenlet gyökei

n = 0

és

n = - \frac{8}{25}

. Mivel az

n

pozitív egész szám, ellentmondásra jutottunk, tehát

2 a - b \neq 1

, az

5 n + 3

összetett szám.