|
Feladat: |
B.4321 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bogár Blanka , Damásdi Gábor , Dudás Zsolt , Énekes Péter , Fonyó Viktória , Lenger Dániel , Máthé László , Szabó Attila , Tekeli Tamás , Viharos Andor |
Füzet: |
2011/október,
412 - 413. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/december: B.4321 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vegyük fel az csúcsból kiinduló szögharmadolókat, metszéspontjuk az oldallal legyen és . Vizsgáljuk először az háromszöget. Szögei , és . A szinusztétel alapján: | |
Hasonlóan az háromszögből kapjuk, hogy | |
Ezeket a feladatban szereplő egyenlőtlenségbe helyettesítve ezt kapjuk: | | illetve egyszerűsítve: Ha ezt belátjuk, beláttuk az állítást. Húzzunk párhuzamost a ponton keresztül -vel, ennek -vel való metszéspontja legyen . Az háromszög szögei ekkor , , . A szinusztétel alapján: | | Tehát . A párhuzamos szelők tétele alapján: | | Hasonló módon beláthatjuk, hogy Ezek alapján: | | Mivel , a nevezőket növelve: | | Tehát (1)-hez elegendő belátni, hogy . Közös nevezőre hozva: | | Minden érték pozitív, így átszorozva Tehát az állítás igaz.
|
|