Kezdőlap


Feladat:	B.4306	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fonyó Viktória
Füzet:	2011/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Exponenciális egyenletek, Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: B.4306

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldali kifejezés mindkét tagja pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani középre vonatkozó összefüggést:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & = 16^{x^{2} + y} + 16^{y^{2} + x} \geq 2 \cdot \sqrt[]{16^{x^{2} + y} \cdot 16^{y^{2} + x}} = 2 \cdot \sqrt[]{16^{x^{2} + y + y^{2} + x}} = \\ = 2 \cdot 4^{x^{2} + y + y^{2} + x} = A, \end{matrix} \\ x^{2} + y + y^{2} + x = x^{2} + x + \frac{1}{4} + y^{2} + y + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezt felhasználva:

\begin{matrix} A = 2 \cdot 4^{{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}} \geq 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} = 1. \end{matrix}

Látszik, hogy az egyenlőség pontosan akkor áll fenn,
ha

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 0

, azaz

x = - \frac{1}{2}

és

y = - \frac{1}{2}

, ami valóban megoldása az egyenletnek:

\begin{matrix} 16^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} + 16^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = 2 \cdot 16^{- \frac{1}{4}} = \frac{2}{\sqrt[4]{16}} = \frac{2}{2} = 1. \end{matrix}