Kezdőlap


Feladat:	B.4297	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bősze Zsuzsanna , Dudás Zsolt , Énekes Péter , Fonyó Viktória , Forrás Bence , Halász Dániel , Hegedűs Csaba , Köpenczei Gergő , Máthé László , Németh Krisztián , Neukirchner Elisabeth , Perjési Gábor , Schultz Vera Magdolna , Sieben Bertilla , Szabó Attila , Viharos Andor , Zahemszky Péter
Füzet:	2011/október, 408 - 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Algebrai egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4297

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás ekvivalens a következő abszolútértékes egyenlőtlenséggel:

\begin{matrix} | \frac{(x + y) (1 - x y)}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} | \leq \frac{1}{2} . \end{matrix}

Az abszolútérték tulajdonságai alapján

\begin{matrix} | \frac{(x + y) (1 - x y)}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} | = \frac{| (x + y) (1 - x y) |}{| (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) |} = \frac{| x + y | | 1 - x y |}{| 1 + x^{2} | | 1 + y^{2} |} . \end{matrix}

Most alkalmazzuk a számlálóban a szorzatra az ismert

a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

becslést. (Ezt tekinthetjük a mértani- és négyzetes közép közötti egyenlőtlenségnek, illetve az

{(a - b)}^{2} \geq 0

egyenlőtlenség átrendezésének is.) Emellett végezzük el a beszorzást a nevezőben:

\begin{matrix} \frac{| x + y | | 1 - x y |}{| 1 + x^{2} | | 1 + y^{2} |} \leq \frac{\frac{{(x + y)}^{2} + {(1 - x y)}^{2}}{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 1 - 2 x y + x^{2} y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Az állítás első lépésben kapott ekvivalens alakját ezzel bizonyítottuk. Meg kell még vizsgálnunk az egyenlőség esetét. Egyenlőség pontosan akkor van, ha a tagok a mértani-négyzetes becslésnél megegyeznek. Azaz, ha

| x + y | = | 1 - x y |

. Ez ebben a formában még nem ad választ, hogy mekkora is

x

és

y

az egyenlőség esetén. Alkalmazzuk az

x = tg α

y = tg β

α, β \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

helyettesítést. Ha

x \cdot y = 1

, akkor a bal oldalon 2, a jobb oldalon 0 adódik, nem kapunk megoldást. Ha

x \cdot y \neq 1

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 1 = \frac{| x + y |}{| 1 - x y |} = \frac{| tg α + tg β |}{| 1 - tg α \cdot tg β |} = | tg (α + β) | . \end{matrix}

Ennek megoldásai

α + β \in {- \frac{3 π}{4}, - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}}

. Itt az a nem szokványos helyzet áll elő, hogy minden

x

értékhez két olyan

y

is tartozik, amelyre egyenlőség teljesül. Például

x = \frac{1}{\sqrt[]{3}}

esetén,

α = \frac{π}{6}

és

β = \frac{π}{12}

vagy

β = - \frac{5 π}{12}

. Mindkét

β

érték a

] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

intervallumba esik.

Megjegyzések. 1. Egy addíciós tételeket felhasználó, áttekinthető, rövid megoldást kapunk, ha mindjárt a megoldás kezdetén alkalmazzuk az

x = tg α

y = tg β

helyettesítést. Itt természetesebben adódik az igény az egyenlőség lehetőségeinek vizsgálatára.
2. Jellemző hiba volt, hogy a versenyzők nem vizsgálták az egyenlőség eseteit, emiatt nagyon magas a 3 pontos dolgozatok száma.