Kezdőlap


Feladat:	B.4293	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varnyú József
Füzet:	2011/október, 407 - 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletrendszerek, Egész számok összege, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4293

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három pozitív egész szám $a$ , $b$ , $c$ , amelyekre $a + b + c = 2010$ és $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{58}$ . A második egyenletet a nevezők szorzatával beszorozva és rendezve $58 (a b + b c + c a) - a b c = 0$ . Definiáljuk a

\begin{matrix} P (x) = (x - a) (x - b) (x - c) = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x - a b c \end{matrix}

polinomot. Ennek az

x = 58

helyen felvett helyettesítési értéke ‐ felhasználva a feladat feltételeit ‐

\begin{matrix} P (58) = 58^{3} - 58^{2} (a + b + c) + 58 (a b + b c + c a) - a b c = 58^{3} - 2010 \cdot 58^{2} = - 6 566 528. \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} P (58) = (58 - a) (58 - b) (58 - c) . \end{matrix}

Legyen most

p = a - 58

q = b - 58

r = c - 58

. Ezekre teljesül az eddigiek alapján, hogy

\begin{matrix} p q r = 6 566 528 = 2^{7} \cdot 29^{2} \cdot 61 és p + q + r = a + b + c - 3 \cdot 58 = 1836. \end{matrix}

Tudjuk azt is, hogy a

p

q

r

is pozitív egészek, mivel az

a

b

c

egészek reciprokai mind kisebbek

\frac{1}{58}

-nál. Vizsgáljunk a továbbiakban két esetet aszerint, hogy a

p

q

r

számok közül hány osztható 29-cel.
1. Először legyen

p

osztható

29^{2}

-nel, továbbá

q

és

r

egyike sem legyen osztható 29-cel. Az összeg nagysága alapján csak két lehetőséget kell vizsgálnunk:

p = 29^{2} = 841

vagy

p = 2 \cdot 29^{2} = 1682

. Ha

p = 841

, akkor

q + r = 995

, ennek megfelelően

q

és

r

közül az egyik csak páratlan lehet, azaz 1 vagy 61. Akármelyiket is tekintjük, a másik szám nem lesz 2-hatvány. Ha

p = 1682

, akkor

q + r = 154

q \cdot r = 2^{6} \cdot 61

. Ennek szimmetrikus megoldása

q = 122

r = 32

. Az eredeti számok tehát ebben az esetben 1740, 180 és 90.
2. Hiányzik még annak az esetnek a vizsgálata, ha

p

és

q

osztható 29-cel, az

r

pedig nem. Ha

p

osztható 61-gyel, akkor

p = 1769

q + r = 67

q \cdot r = 2^{7} \cdot 29

, nincs megoldás. Ugyanez a helyzet, ha

q

osztható

61

-gyel. Ha 61 az

r

-nek osztója, akkor az

r

csak

r = 2^{k} \cdot 61

alakú lehet, ahol

0 \leq k \leq 4

. (Ugyanis

2^{5} \cdot 61

már nagyobb, mint 1836.) A

p + q + r = 1836

-ról tudjuk, hogy 29-cel osztva 9 maradékot ad. Ezt a

2^{k} \cdot 61

-ek közül egyik sem teljesíti (3, 6, 12, 24, 19 rendre a maradékok), tehát ebben az esetben sincs megoldás.
A keresett három szám:

1740

180

90

, amelyekre valóban

\begin{matrix} \frac{1}{1740} + \frac{1}{180} + \frac{1}{90} = \frac{1}{58} . \end{matrix}