Kezdőlap


Feladat:	C.1043	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schultz Vera Magdolna , Tamás Ádám
Füzet:	2011/október, 405. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Függvényvizsgálat, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: C.1043

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Közös nevezőre hozás után ( $a \neq b$ , $a \neq c$ , $b \neq c)$ :

\begin{matrix} f (x) & = & \frac{(b - c) {(x + a)}^{2} - (a - c) {(x + b)}^{2} + (a - b) {(x + c)}^{2}}{(a - b) (a - c) (b - c)} = \\ = & \frac{b x^{2} + 2 a b x + a^{2} b - c x^{2} - 2 a c x - a^{2} c - a x^{2} - 2 a b x - a b^{2}}{(a - b) (a - c) (b - c)} + \\ + \frac{c x^{2} + 2 b c x + b^{2} c + a x^{2} + 2 a c x + a c^{2} - b x^{2} - 2 b c x - b c^{2}}{(a - b) (a - c) (b - c)} = \\ = & \frac{a^{2} b - a^{2} c - a b^{2} + b^{2} c + a c^{2} - b c^{2}}{(a - b) (a - c) (b - c)} = \frac{(a - b) (a - c) (b - c)}{(a - b) (a - c) (b - c)} = 1. \end{matrix}

Tehát az

f

függvény értékkészlete:

{1}

II. megoldás. A függvény hozzárendelésében szereplő másodfokú kifejezések miatt

f (x)

legfeljebb másodfokú lehet (

a \neq b

a \neq c

b \neq c)

. Nézzük az

f (x)

három különböző helyen felvett értékét, mégpedig

x = - a

-ban,

x = - b

-ben és

x = - c

-ben:

\begin{matrix} f (- a) & = 0 + \frac{{(b - a)}^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(c - a) (c - b)} = \\ = \frac{b - a}{b - c} + \frac{c - a}{c - b} = \frac{b - a}{b - c} + \frac{a - c}{b - c} = \frac{b - c}{b - c} = 1, \\ f (- b) & = \frac{{(a - b)}^{2}}{(a - b) (a - c)} + 0 + \frac{{(c - b)}^{2}}{(c - a) (c - b)} = \\ = \frac{a - b}{a - c} + \frac{c - b}{c - a} = \frac{a - b}{a - c} + \frac{b - c}{a - c} = \frac{a - c}{a - c} = 1, \\ f (- c) & = \frac{{(a - c)}^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(b - a) (b - c)} + 0 = \\ = \frac{a - c}{a - b} + \frac{b - c}{b - a} = \frac{a - c}{a - b} + \frac{c - b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1. \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy az

f (x)

függvény három különböző helyen ugyanazt az értéket veszi fel. A másodfokú függvények ugyanazt az értéket legfeljebb két helyen vehetik fel, mert a másodfokú egyenleteknek legfeljebb két megoldása van. Az elsőfokú függvények ugyanazt az értéket csak egy helyen vehetik fel, mert legfeljebb egy megoldásuk lehet az elsőfokú egyenleteknek.
Így az

f (x)

függvényünk nem lehet másodfokú, nem lehet elsőfokú, tehát csakis konstans függvény lehet, így értékkészlete egyetlen számból, az 1-ből áll:

R_{f} = {1}