Kezdőlap


Feladat:	C.1042	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Straubinger Dániel
Füzet:	2011/október, 403 - 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: C.1042

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $y = x + a$ , ahol $a \in Z$ . Ekkor az egyenlet: $x + x + a = x^{2} - x (x + a) + {(x + a)}^{2}$ , azaz

\begin{matrix} 2 x + a & = x^{2} - x^{2} - x a + x^{2} + 2 x a + a^{2}, \\ 0 & = x^{2} + x a - 2 x + a^{2} - a, \\ 0 & = x^{2} + (a - 2) x + (a^{2} - a) . \end{matrix}

A megoldás az

a

függvényében:

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- a + 2 \pm \sqrt[]{{(a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} - a)}}{2 \cdot 1} . \end{matrix}

A másodfokú egyenletnek akkor van megoldása, ha a diszkriminánsa nemnegatív:

\begin{matrix} D = {(a - 2)}^{2} - 4 (a^{2} - a) & \geq 0, \\ a^{2} - 4 a + 4 - 4 a^{2} + 4 a & \geq 0, \\ 4 - 3 a^{2} & \geq 0, \\ \frac{4}{3} & \geq a^{2}, \\ \frac{2}{\sqrt[]{3}} & \geq | a | . \end{matrix}

a

lehetséges értékei a következők:

\begin{matrix} a = - 1, & ekkory = x - 1, & D = 1, & azazx_{1,2} = \frac{1 + 2 \pm \sqrt[]{1}}{2}, & x_{1} = 2,x_{2} = 1; \\ a = 0, & ekkory = x, & D = 4, & azazx_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt[]{4}}{2}, & x_{3} = 2,x_{4} = 0; \\ a = 1, & ekkory = x + 1, & D = 1, & azazx_{5,6} = \frac{- 1 + 2 \pm \sqrt[]{1}}{2}, & x_{5} = 1,x_{6} = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} Haa = - 1 & ésx_{1} = 2, & akkory_{1} = x_{1} - 1 = 1, \\ ésx_{2} = 1, & akkory_{2} = x - 1 = 0. \\ Haa = 0 & ésx_{3} = 2, & akkory_{3} = x_{3} = 2, \\ ésx_{4} = 0, & akkory_{4} = x_{4} = 0. \\ Haa = 1 & ésx_{5} = 1, & akkory_{5} = x_{5} + 1 = 2, \\ ésx_{6} = 0, & akkory_{6} = x_{6} + 1 = 1. \end{matrix}

Tehát a megoldások a következő

(x; y)

számpárok:

\begin{matrix} (2; 1); (1; 0); (2; 2); (0; 0); (1; 2); (0; 1) . \end{matrix}