Feladat:	B.4296	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kerti Dávid
Füzet:	2012/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasságvonal, Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Geometriai egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4296

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A háromszög területét kétféleképpen kiszámolva: $a\cdot m_a=b\cdot m_b$, így ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{a^{2010}}{b^{2010}}}& {\displaystyle =\frac{m_b^{2010}}{m_a^{2010}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{a^{2010}}{b^{2010}}-1}& {\displaystyle =\frac{m_b^{2010}}{m_a^{2010}}-\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{a^{2010}-b^{2010}}{b^{2010}}}& {\displaystyle =\frac{m_b^{2010}-m_a^{2010}}{m_a^{2010}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Egy derékszögű háromszög befogója legfeljebb akkora, mint az átfogó, ezért $m_a\le b$. Így a második tört nevezőjét nem csökkentve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^{2010}-b^{2010}}{b^{2010}}\ge \frac{m_b^{2010}-m_a^{2010}}{b^{2010}}}\end{array}$ szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{2010}-b^{2010}\ge m_b^{2010}-m_a^{2010}\mathrm{,}}\end{array}$ ami átrendezve éppen a bizonyítandó állítást adja.