(1) Az $n$ helyébe 0-t írva $f\left(m\right)\mid f\left(m\right)-f\left(0\right)$, így $f\left(m\right)\mid f\left(0\right)$ minden $m$-re.
(2) $m$ helyébe 0-t írva $f\left(-n\right)\mid f\left(0\right)-f\left(n\right)$, innen (1) miatt $f\left(-n\right)\mid f\left(n\right)$ minden $n$-re;
(3) és itt $n$ helyébe $-n$-et írva $f\left(n\right)\mid f\left(-n\right)$, de mivel $f\left(n\right)$ és $f\left(-n\right)$ is pozitív egész, azért $f\left(n\right)=f\left(-n\right)$ minden $n$-re.
A bizonyítandó állítás lényegében az, hogy $f$ értékkészletének bármely két eleme közül egyik osztója a másiknak. Legyenek $a$ és $b$ tetszőleges egészek, ekkor $m$ helyébe $a$-t, $n$ helyébe $b$-t írva $f\left(a-b\right)\mid f\left(a\right)-f\left(b\right)$, illetve $m$ helyébe $a$-t, $n$ helyébe $\left(a-b\right)$-t írva $f\left(a-\left(a-b\right)\right)=f\left(b\right)\mid f\left(a\right)-f\left(a-b\right)$, végül $m$ helyébe $\left(b-a\right)$-t, $n$ helyébe $b$-t írva $f\left(\left(b-a\right)-b\right)=f\left(-a\right)\mid f\left(b-a\right)-f\left(-b\right)$. (3) felhasználásával ezek azt adják, hogy az $f\left(a\right)$, $f\left(b\right)$ és $f\left(a-b\right)$ pozitív egészek közül bármely kettő különbsége osztja a harmadikat. Ha az $x$, $y$, $z$ pozitív egészek közül bármely kettő különbsége osztja a harmadikat és például $x$ az egyik legnagyobb közülük, akkor $-x\le -z<y-z<y\le x$, de így mivel $x\mid \left(y-z\right)$, azért $y-z=0$, $y=z$ és ekkor $y\mid \left(z-x\right)$-ből $y=z\mid x$ adódik, így ekkor $x$, $y$ és $z$ közül bárhogyan választunk kettőt, egyikük osztani fogja a másikat. Ezt az $f\left(a\right)$, $f\left(b\right)$, $f\left(a-b\right)$ hármasból $f\left(a\right)$-t és $f\left(b\right)$-t választva alkalmazva adódik a feladat állítása, hiszen $a$ és $b$ tetszőleges egészek voltak.