Feladat: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kalina Kende 
Füzet: 2011/október, 388 - 389. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/szeptember: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kalina Kende megoldása. Az f(x+y)≤yf(x)+f(f(x)) egyenlőtlenségből y=0 helyettesítéssel:

f(x)≤f(f(x)).(1)

Ha van olyan a, amelyre f(a)=0, akkor
f(b+a)≤bf(a)+f(f(a))=f(0).
Mivel a+b minden valós értéket felvesz, minden c-re teljesül:
f(c)≤f(0),(2)
speciálisan f(f(0))≤f(0). Innen (1) miatt f(0)=f(f(0)). Ezt felhasználva:
f(0)=f(f(0)-f(0))≤-f(0)2+f(f(0)).
Mivel így 0≤-f(0)2, ebből f(0)=0.
Legyen k<0,
0=f(k-k)≤-kf(k)+f(f(k)),ígykf(k)≤f(f(k)).

(2) alapján a jobb oldal kisebb vagy egyenlő, mint 0, így a bal oldal is. Mivel k<0, és (2) alapján f(k)≤0, így f(k)=0 lehet csak.
Tehát, ha találunk egy gyököt, az állítás igaz. Így a továbbiakban indirekt felteszem, hogy f(x)≠0 minden x-re. Alkalmazzuk a következő helyettesítést:
f(q)≤(q-r)f(r)+f(f(r)),f(q)≤qf(r)-rf(r)+f(f(r)).

(3) Ebből látszik, hogy ha van olyan r, amelyre f(r)>0, akkor f(q) mindig negatív, amennyiben q kisebb egy adott Q értéknél. Ha nincs ilyen r, akkor ugyanez bármilyen Q-ra igaz.
Legyen y=f(x)-x; ekkor:
0≤(f(x)-x)f(x),azazxf(x)≤f(x)2.

(4) Innen a függvény negatívakon felveheti a következő értékeket: pozitív valósak, abszolút értékben x-nél nagyobb vagy egyenlő (tehát x-nél kisebb vagy egyenlő) negatív valósak.
Legyen h a (3) szerinti Q-nál kisebb negatív valós szám. Ekkor f(h)≤h; és f(f(h))≤f(h). Viszont (1) miatt f(h)≤f(f(h)), így f(h) fixpont. Illetve egy másik, j<f(h)-ra f(j)=j<f(h) is fixpont.
Az eredeti egyenlőtlenséget a negatív a<b fixpontokból képzett a és b-a számokra felírva:
f(a+(b-a))≤(b-a)f(a)+f(f(a)),b≤(b-a)a+a,b-a≤(b-a)a.
Mivel a<b, azaz b-a>0, ebből 1≤a, ami ellentmondás. Tehát a megoldás első fele szerint következik a feladat állítása.