Feladat:	B.4320	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Strenner Péter
Füzet:	2012/október, 415 - 416. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvények, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: B.4320

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel minden $k$ pozitív egészre $1<\left(k+1\right)\sqrt[]{2}-k\sqrt[]{2}<2$, az $x_{k+1}-x_k$ különbség értéke csak 1 vagy 2 lehet. Ezért az $r$-edik kimaradt szám, $y_r$, valamilyen $k$-ra $\begin{array}{c}{\displaystyle y_r=\left[k\sqrt[]{2}\right]-1}\end{array}$   alakú. Erre a $k$-ra tehát $\left[k\sqrt[]{2}\right]-1\ne \left[\left(k-1\right)\sqrt[]{2}\right]$, azaz $\left[k\sqrt[]{2}\right]\ne [k\sqrt[]{2}-\left(\sqrt[]{2}-1\right)]$, vagyis $0=[\left\{k\sqrt[]{2}\right\}]\ne [\left\{k\sqrt[]{2}\right\}-\left(\sqrt[]{2}-1\right)]$. Ez azt jelenti, hogy $\left\{k\sqrt[]{2}\right\}<\sqrt[]{2}-1$, ezért $\left\{k\sqrt[]{2}\right\}\left(\sqrt[]{2}+1\right)<\left(\sqrt[]{2}-1\right)\left(\sqrt[]{2}+1\right)=1$, azaz $-1<-\left\{k\sqrt[]{2}\right\}\left(\sqrt[]{2}+1\right)<0$, így $[-\left\{k\sqrt[]{2}\right\}\left(\sqrt[]{2}+1\right)]=-1$. Ennek megfelelően idáig összesen $r=x_k-k=\left[k\sqrt[]{2}\right]-k$ darab szám maradt ki a felső sorból. A felső sorban az $r$-edik szám ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x_r}& {\displaystyle =\left[r\sqrt[]{2}\right]=[\left(\left[k\sqrt[]{2}\right]-k\right)\sqrt[]{2}]=[\left(k\sqrt[]{2}-\left\{k\sqrt[]{2}\right\}-k\right)\sqrt[]{2}]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =[2k-k\sqrt[]{2}-\left\{k\sqrt[]{2}\right\}\sqrt[]{2}]=2k-\left[k\sqrt[]{2}\right]+[-\left\{k\sqrt[]{2}\right\}\left(1+\sqrt[]{2}\right)]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2k-\left[k\sqrt[]{2}\right]-1.}\hfill \end{array}}$ Így pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle y_r-x_r=\left[k\sqrt[]{2}\right]-1-(2k-\left[k\sqrt[]{2}\right]-1)=2\left[k\sqrt[]{2}\right]-2k=2r\mathrm{.}}\end{array}$