Feladat:	B.4309	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zsakó András
Füzet:	2012/október, 415. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: B.4309

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás.   Megmutatjuk, hogy ha $m$ páratlan és $k$ pozitív egész szám, akkor $3^{2^{k}m}-1$ a 2-nek pontosan a $k+2$-edik hatványával osztható. Ha $k=1$, akkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 3^{2m}-1=9^m-1={\left(8+1\right)}^m-1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(8^m+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1}\right)8^{m-1}+\text{...}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-2}\right)8^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-1}\right)8+1\right)-1=8^{2}v+8m\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$   ami valóban 2-nek pontosan a harmadik hatványával osztható. Ezután a $k$ szerinti indukcióval bizonyíthatunk: ha $k\ge 1$ és $3^{2^{k}m}-1=2^{k+2}\cdot \left(2w+1\right)$ alakú, akkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3^{2^{k+1}m}-1}& {\displaystyle =\left(3^{2^{k}m}-1\right)\cdot \left(3^{2^{k}m}+1\right)=2^{k+2}\left(2w+1\right)\cdot \left(2^{k+2}\left(2w+1\right)+2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{k+2}\left(2w+1\right)\cdot 2\left(2^{k+1}\left(2w+1\right)+1\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ami 2-nek pontosan a $k+3$-adik hatványával osztható. A bizonyítottak szerint $3^{2n}-1$ akkor és csak akkor osztható $2^{2010}$-nel, ha $2n$ osztható $2^{2008}$-nal, azaz $n$ osztható $2^{2007}$-nel. A legkisebb ilyen pozitív egész tehát $n=2^{2007}$.