Feladat:	B.4301	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Klincsik Gergely
Füzet:	2012/május, 284 - 285. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Négyzetszámok összege, Oszthatóság, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: B.4301

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a két szám $x$ és $x+1$, ekkor ${\left(x+1\right)}^3-x^3=n^2$, azaz $3x^2+3x+\left(1-n^2\right)=0$. A másodfokú egyenletet megoldva és figyelembe véve, hogy $x>0$ kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{12n^2-3}}{6}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $x$ csak úgy lehet egész, ha a négyzetgyök jel alatt négyzetszám áll: $\begin{array}{c}{\displaystyle k^2=12n^2-3=3\left(4n^2-1\right)=3\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Itt $2n+1$ és $2n-1$ egymáshoz relatív prímek, hiszen páratlanok, és minden közös osztójuk osztja a különbségüket, ami 2. Ezért a szorzat csak úgy lehet négyzetszám, ha $2n+1$ és $2n-1$ egyike négyzetszám, a másik pedig egy négyzetszám 3-szorosa. Mivel $x$ és $x+1$ paritása különböző, köbeik különbsége ‐ azaz $n^2$ ‐ páratlan, vagyis $n$ páratlan: $n=2t+1$, ezért $2n+1=4t+3$, $2n-1=4t+1$. Négyzetszám 4-gyel osztva nem adhat maradékul 3-at, így csak $2n-1$ lehet (szükségképpen páratlan) négyzetszám: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2n-1={\left(2v+1\right)}^2=4v^2+4v+\mathrm{1,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle n=2v^2+2v+1=v^2+{\left(v+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$