Feladat:	B.4286	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csizmadia Luca
Füzet:	2012/május, 284. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Beírt alakzatok, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: B.4286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Bontsuk föl a háromszöget ‐ az ábrán látható módon ‐ trapézokra úgy, hogy az $AC$ oldalon (ahol a háromszögek alapjai vannak) párhuzamosokat húzunk a szabályos háromszögek csúcsain keresztül a $BC$ befogóval. Az első ilyen trapéz a $BCDL$. Az $FCD$ háromszög $FM$ magassága e trapéznak középvonala, $CD$ alapja pedig a trapéz magassága.     Mivel a trapéz területe $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BC+LD}{2}\cdot CD=FM\cdot CD\mathrm{,}}\end{array}$ az $FCD$ háromszög területe éppen fele a $BCDL$ trapéz területének. Hasonlóság miatt ugyanez a helyzet a többi trapézra és a megfelelő szabályos háromszögekre is. Mivel   a(z eredeti) derékszögű háromszöget erre a végtelen sok trapézra osztottuk föl, azok területének összege a derékszögű háromszög területe, $\frac{36\cdot 36}{2}=648$. Így a végtelen sok szabályos háromszög területének összege ennek a fele, 324 területegység.