Feladat:	C.1059	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Király Edit
Füzet:	2012/május, 282 - 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: C.1059

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Tudjuk, hogy az $ABC$ szabályos háromszögben $FB=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, az $AD$ és a $CD$ eredetileg a szabályos ötszög átlója volt, így a hosszuk $\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$.     1. ábra   Az $AFD$ derékszögű háromszögből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a^2}& {\displaystyle ={\left(\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2}& {\displaystyle =\frac{6+2\sqrt[]{5}}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $FBD$ háromszögből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1^2}& {\displaystyle =\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}+\frac{3}{4}-2\cdot \sqrt[]{\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{2+\sqrt[]{5}}{2}}& {\displaystyle =2\sqrt[]{\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2+\sqrt[]{5}}& {\displaystyle =\sqrt[]{15+6\sqrt[]{5}}\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\alpha }& {\displaystyle =\frac{2+\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{15+6\sqrt[]{5}}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Így  $\text{sin}\alpha =\sqrt[]{1-\text{cos}{}^2\alpha }=\sqrt[]{\frac{10-2\sqrt[]{5}}{15}}=\frac{m}{\sqrt[]{\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}}}$, ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m}& {\displaystyle =\sqrt[]{\left(\frac{10-2\sqrt[]{5}}{15}\right)\left(\frac{5+2\sqrt[]{5}}{4}\right)}=\sqrt[]{\frac{50+20\sqrt[]{5}-10\sqrt[]{5}-20}{60}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{30+10\sqrt[]{5}}{60}}=\sqrt[]{\frac{3+\sqrt[]{5}}{6}}=\sqrt[]{\frac{6+2\sqrt[]{5}}{12}}=\sqrt[]{\frac{{\left(\sqrt[]{5}+1\right)}^2}{3\cdot 4}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{5}+1}{2\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{15}+\sqrt[]{3}}{6}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{T_{ABC}\cdot m}{3}=\frac{\frac{\sqrt[]{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt[]{15}+\sqrt[]{3}}{6}}{3}=\frac{1+\sqrt[]{5}}{24}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A gúla térfogata: $\frac{1+\sqrt[]{5}}{24}$.