Feladat:	B.4374	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Czipó Bence ,  Fehér Zsombor ,  Janzer Barnabás ,  Janzer Olivér ,  Mócsy Miklós ,  Strenner Péter ,  Viharos Andor
Füzet:	2012/február, 92 - 93. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Pont és egyenes távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: B.4374

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen egy centiméter egy egység. Tekintsük azt a $4\times 4\times 4$-es ,,belső'' kockát, amelynek élei párhuzamosak a sajt éleivel, középpontja pedig egybeesik a sajt középpontjával. Ez a kocka meghatároz egy $1\times 1\times 1$-es térrácsot. Vegyünk fel egy olyan koordinátarendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak a kockák éleivel, középpontja egybeesik a kockák középpontjával. A belső kocka 125 rácspontot tartalmaz, a kukac csak ezekre léphet. Közülük azok a pontok, amelyek nem a belső kocka élein helyezkednek el, a sajt mindegyik élétől legalább egy egység távolságra lesznek.     Az élen levő pontok távolsága a sajtkocka legközelebbi élétől $\sqrt[]{2\cdot 0\mathrm{,}{5}^2}\approx 0\mathrm{,}707<0\mathrm{,}8$ (a többié legalább $\sqrt[]{1\mathrm{,}{5}^2+0\mathrm{,}{5}^2}\approx 1\mathrm{,}581>0\mathrm{,}8$). Tehát a kukacnak ki kell jutnia a belső kocka valamelyik élére. Ehhez az $x$, $y$, $z$ irányok közül valamelyik kettő irányában a kitérésének kettőnek kell lenni a középponthoz képest. Több nem lehet, hiszen akkor kijutna a kockából. Minden lépés során valamelyik kitérésén változtat egyet. A kukac ötször lép. Mivel minden lépés után irányt vált, egymás után kétszer nem tudja az ugyanolyan irányú kitérését növelni. A kukac az első két lépést bárhogy is csinálja, mindig elindul egy irányba, majd rá merőlegesen egy másikba. Idáig minden eset jó. Legyen az első irány $x$, a második pedig $y$. Most ezután 4 irányba fordulhat (hisz mögötte nincs érintetlen sajtréteg): $x$, $-x$, $z$, vagy $-z$. Ha $-x$ irányba fordul, akkor már nem juthat ki egy élhez sem. (Hisz $\left(\mathrm{0,1,0}\right)$ a kitérése, tehát két lépés alatt 3-at kéne minimum változnia.) Ha $x$ irányba indul el, aminek esélye $\frac{1}{4}$, akkor kiér a belső kocka felszínére, még mindig négy irányba mehet, $y$, $-y$, $z$, $-z$. Ha $-y$ irányba megy, akkor a kitérése $\left(\mathrm{2,0,0}\right)$ lesz, amiből egy lépés során nem juthat ki az élekre. Ha $y$ irányba indul tovább $\frac{1}{4}$ valószínűséggel, akkor kiér egy élre, innen már $x$ irányba nem tud haladni, csak $-x$, $z$, és $-z$ irányba. Ha $z$-t vagy $-z$-t választja, akkor az élen marad, $\left(\mathrm{2,2,1}\right)$ vagy $\left(\mathrm{2,2,}-1\right)$, ennek az esélye $\frac{2}{3}$. Így itt $(\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3})$ valószínűséggel jut ki az élekre. Ha $z$ (ugyanaz mintha $-z$) irányba indul, aminek $\frac{1}{4}$ a valószínűsége (összesen $\frac{1}{2}$), akkor kitérése $\left(\mathrm{2,1,1}\right)$, azaz $x$ irányba ismét nem haladhat. Tehát maradt $y$, $-y$, $-x$. Mivel a $z$ kitérésén már nem változtathat, azért csak akkor jut ki az élre, ha $y$ irányba megy, ennek esélye $\frac{1}{3}$. A $z$ és $-z$ irányokban együtt tehát $(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3})$ a kijutás valószínűsége. Ha $\left(\mathrm{1,1,0}\right)$ után nem $x$ irányba megy, hanem $z$ vagy $-z$ irányba, ($\frac{1}{2}$ eséllyel) akkor kitérése $\left(\mathrm{1,1,1}\right)$ lesz, még mindig négy irányba mehet, ám ha $-y$ vagy $-x$ irányba megy, akkor semelyik kitérése nem lesz 2 az utolsó lépés előtt, tehát nem juthat ki az élre. Tehát itt $\frac{1}{2}$ eséllyel megy jó irányba. Akármelyik irányba is ment, kijutott egy lapra. $\left(\mathrm{2,1,1}\right)$ esetén négy irányba ($y$, $-y$, $z$, $-z$) mehet, ebből $y$ és $z$ esetén jut ki az élre, tehát ennek esélye ismét $\frac{1}{2}$. Ha $y$ irányba ment, akkor most $x$ vagy $z$ irányt választva jut ki az élre, azaz az esély szintén $\frac{1}{2}$. Itt tehát $(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2})$ az élekre kijutás valószínűsége. Az első két lépés irányától függetlenül mindig ezek lesznek a valószínűségek. Ezeket összeszámolva a keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{3}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}+\frac{1}{8}=\frac{5}{24}\mathrm{.}}\end{array}$