|
Feladat: |
B.4298 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beke Lilla , Beleznay Soma , Dudás Zsolt , Hegedűs Csaba , Janzer Olivér , Kabos Eszter , Kiss Robin , Nagy Róbert , Simig Dániel , Szabó Attila , Tardos Jakab , Tossenberger Tamás , Varnyú József , Viharos Andor , Weisz Gellért |
Füzet: |
2012/február,
86 - 87. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Vetítések, Hossz, kerület, Vektorok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/október: B.4298 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először megmutatjuk, hogy egy szabályos ötszög síkjának minden pontjára az ötszög oldalegyeneseitől való távolságok előjeles összege állandó. (A távolságot egy oldaltól pozitívnak tekintjük, amennyiben a pont az oldalegyenesnek az ötszöggel megegyező oldalára esik, és negatívnak ellenkező esetben.) Jelölje egy tetszőleges pont oldalegyenesektől mért távolságát , , , , , az ötszög oldalhosszát pedig . Ha a pontot összekötjük az ötszög csúcsaival, akkor öt olyan (esetleg elfajuló) háromszöget kapunk, amelyek előjeles területének összege megegyezik az ötszög területével. Az utóbbi állandó, ezért az előbbi: | | is az, ami igazolja állításunkat. Legyen a feladatban vizsgált ötszög . Tekintsük azt a szabályos ötszöget, amelynek oldalfelezőpontjai éppen , , , , , valamint legyen egy tetszőleges pont. Jelölje a pont távolságát oldalegyeneseitől , , , , . Az , , , , pontok ezeken az oldalegyeneseken helyezkednek el, ezért | | Az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő összeg a fentiek értelmében állandó. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a pontból oldalegyeneseire állított merőlegesek talppontjai éppen az , , , , pontok, ez pedig csak az ötszög középpontjára teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy a távolságok összege az ötszög középpontjára lesz minimális. Kabos Eszter dolgozata alapján
II. megoldás. Az ötszög középpontját jelölje , csúcsait pozitív körüljárás szerint , , , , , továbbá legyen az ötszög köre írható kör sugara. Legyen egy tetszőleges pont. A pontot körül rendre nagyságú szöggel elforgatva képezzük a pontokat (); ezek -lal együtt egy szabályos ötszög csúcsait alkotják. A forgatások miatt , , , , így | | Az pontból a szabályos ötszög csúcsaiba mutató vektorok összege . Így a háromszög-egyenlőtlenség alapján | | azaz a pontnak az ötszög csúcsaitól való távolságainak összege legalább , egyenlőség pedig pontosan akkor teljesül, ha . Tehát a keresett pont az ötszög középpontja. Hegedűs Csaba dolgozata alapján |
|