Feladat: B.4298 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke Lilla ,  Beleznay Soma ,  Dudás Zsolt ,  Hegedűs Csaba ,  Janzer Olivér ,  Kabos Eszter ,  Kiss Robin ,  Nagy Róbert ,  Simig Dániel ,  Szabó Attila ,  Tardos Jakab ,  Tossenberger Tamás ,  Varnyú József ,  Viharos Andor ,  Weisz Gellért 
Füzet: 2012/február, 86 - 87. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Szabályos sokszögek geometriája, Vetítések, Hossz, kerület, Vektorok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/október: B.4298

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Először megmutatjuk, hogy egy szabályos ötszög síkjának minden pontjára az ötszög oldalegyeneseitől való távolságok előjeles összege állandó. (A távolságot egy oldaltól pozitívnak tekintjük, amennyiben a pont az oldalegyenesnek az ötszöggel megegyező oldalára esik, és negatívnak ellenkező esetben.) Jelölje egy tetszőleges pont oldalegyenesektől mért távolságát d1, d2, d3, d4, d5, az ötszög oldalhosszát pedig a. Ha a pontot összekötjük az ötszög csúcsaival, akkor öt olyan (esetleg elfajuló) háromszöget kapunk, amelyek előjeles területének összege megegyezik az ötszög területével. Az utóbbi állandó, ezért az előbbi:
ad12+ad22+ad32+ad42+ad52=a2(d1+d2+d3+d4+d5)
is az, ami igazolja állításunkat.
Legyen a feladatban vizsgált ötszög ABCDE. Tekintsük azt a K szabályos ötszöget, amelynek oldalfelezőpontjai éppen A, B, C, D, E, valamint legyen P egy tetszőleges pont. Jelölje a P pont távolságát K oldalegyeneseitől dA, dB, dC, dDdE. Az A, B, C, D, E pontok ezeken az oldalegyeneseken helyezkednek el, ezért
dA+dB+dC+dD+dEPA+PB+PC+PD+PE.
Az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő összeg a fentiek értelmében állandó. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a P pontból K oldalegyeneseire állított merőlegesek talppontjai éppen az A, B, C, D, E pontok, ez pedig csak az ABCDE ötszög középpontjára teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy a távolságok összege az ötszög középpontjára lesz minimális.
 

 Kabos Eszter
 dolgozata alapján
 
II. megoldás. Az ötszög középpontját jelölje O, csúcsait pozitív körüljárás szerint A, B, C, D, E, továbbá legyen r az ötszög köre írható kör sugara. Legyen P egy tetszőleges pont. A P=P0 pontot O körül rendre k72 nagyságú szöggel elforgatva képezzük a Pk pontokat (1k4); ezek P0-lal együtt egy szabályos ötszög csúcsait alkotják. A forgatások miatt BP0=AP4, CP0=AP3, DP0=AP2, EP0=AP1, így
AP+BP+CP+DP+EP=AP0+AP1+AP2+AP3+AP4.
Az A pontból a P0P1P2P3P4 szabályos ötszög csúcsaiba
 
mutató vektorok összege k=04APi=5AO. Így a háromszög-egyenlőtlenség alapján
5r=5|AO|k=04|APi|=PA+PB+PC+PD+PE,
azaz a P pontnak az ötszög csúcsaitól való távolságainak összege legalább 5r, egyenlőség pedig pontosan akkor teljesül, ha P=O. Tehát a keresett pont az ötszög középpontja.
 

 Hegedűs Csaba
 dolgozata alapján