Feladat:	C.1054	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tamás Ádám
Füzet:	2012/február, 81 - 82. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Térfogat, Kocka, Tetraéderek, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: C.1054

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Keressük meg azokat a pontokat, ahol az $AOF$ háromszög síkja metszi a $C{C}_1$, illetve $D{D}_1$ élt. Tükrözzük a kockát az $O$ lapközéppontra. A kocka középpontos szimmetriája miatt a $C$ pont $C\text{'}$ tükörképe a $D_1$ csúcsba kerül, a $D$ pont $D\text{'}$ tükörképe a $C_1$ csúcsba. Az $F$ pont tükörképe, $F\text{'}$ a $D_{1}B\text{'}$ él felezőpontja lesz.     Jelölje $P$ azt a pontot, ahol az $AOF$ háromszög $\text{S}$ síkja metszi a kocka $C_{1}C$ élét, $Q$ pedig azt a pontot, ahol az $\text{S}$ sík a $D_{1}D$ élt metszi. A tükrözés miatt $A\text{'}$ és $F\text{'}$ benne van az $\text{S}$ síkban, s ezért az $FA\text{'}$ és $AF\text{'}$ szakaszok is az $\text{S}$ síkban vannak, s velük együtt a $P$ és $Q$ pontok is. Az $FCP$ és $F{A}_1\text{'}A\text{'}$ derékszögű háromszögek hasonlók. $FC=\frac{1}{2}$, $F{A}_1\text{'}=\frac{3}{2}$ és $A_1\text{'}A\text{'}=1$. A megfelelő oldalak arányából: $\begin{array}{c}{\displaystyle CP:1=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}\mathrm{,}\text{és innen}CP=\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $F\text{'}{D}_{1}Q$ és $F\text{'}{A}_{1}A$ hasonló háromszögekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q{D}_1:A{A}_1=D_{1}F\text{'}:A_{1}F\text{'}\mathrm{,}\text{ahol}A{A}_1=\mathrm{1,}{D}_{1}F\text{'}=\frac{1}{2}\mathrm{,}{A}_{1}F\text{'}=\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Írjuk be a megfelelő értékeket az aránypárba: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q{D}_1:1=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}\mathrm{,}\text{és innen}Q{D}_1=\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ $P$ és $Q$ ugyanolyan arányban osztja a $C{C}_1$, illetve $D{D}_1$ párhuzamos szakaszokat, ami azt jelenti, hogy $P$ és $Q$ egymás tükörképei az $O$ pontra, vagyis $P$, $O$ és $Q$ egy egyenesen vannak. Azt állítjuk, hogy az $\text{S}$ sík a kockát két testre vágja szét, amelyek közül az $A$, $F$, $C$, $P$, $Q$, $D$ pontok egy csonkagúlát határoznak meg. Az $AQD$ és $FPC$ hasonló, egyállású, derékszögű háromszögek síkja egymással párhuzamos (hiszen a kocka két szemközti lapjáról van szó). Mindkét sík merőleges a $DC$ egységnyi hosszúságú szakaszra. E két háromszög lesz a csonkagúla alap- és fedőlapja. A háromszögek hasonlóságából következik, hogy az $AF$, $DC$ és $QP$ egyenesek egy pontban metszik egymást. A csonkagúla térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{m}{3}\left(T+\sqrt[]{Tt}+t\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $m$ a magasság, $T$ és $t$ az alap- és fedőlap területe. Most ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle m=\mathrm{1,}T=\frac{1\cdot \frac{2}{3}}{2}=\frac{1}{3}\mathrm{,}t=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{12}\text{és}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\sqrt[]{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{12}}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\right)=\frac{7}{36}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     A másik test térfogata a kocka térfogatának és a most kapott csonkagúla térfogatának különbsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle V_2=1^3-\frac{7}{36}=\frac{29}{36}\mathrm{.}}\end{array}$ A két térfogat aránya: $\frac{7}{36}:\frac{29}{36}=7:29$.