A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Keressük meg azokat a pontokat, ahol az háromszög síkja metszi a , illetve élt. Tükrözzük a kockát az lapközéppontra. A kocka középpontos szimmetriája miatt a pont tükörképe a csúcsba kerül, a pont tükörképe a csúcsba. Az pont tükörképe, a él felezőpontja lesz.
Jelölje azt a pontot, ahol az háromszög síkja metszi a kocka élét, pedig azt a pontot, ahol az sík a élt metszi. A tükrözés miatt és benne van az síkban, s ezért az és szakaszok is az síkban vannak, s velük együtt a és pontok is. Az és derékszögű háromszögek hasonlók. , és . A megfelelő oldalak arányából: | | Az és hasonló háromszögekből: | | Írjuk be a megfelelő értékeket az aránypárba: | | és ugyanolyan arányban osztja a , illetve párhuzamos szakaszokat, ami azt jelenti, hogy és egymás tükörképei az pontra, vagyis , és egy egyenesen vannak. Azt állítjuk, hogy az sík a kockát két testre vágja szét, amelyek közül az , , , , , pontok egy csonkagúlát határoznak meg. Az és hasonló, egyállású, derékszögű háromszögek síkja egymással párhuzamos (hiszen a kocka két szemközti lapjáról van szó). Mindkét sík merőleges a egységnyi hosszúságú szakaszra. E két háromszög lesz a csonkagúla alap- és fedőlapja. A háromszögek hasonlóságából következik, hogy az , és egyenesek egy pontban metszik egymást. A csonkagúla térfogata: ahol a magasság, és az alap- és fedőlap területe. Most
A másik test térfogata a kocka térfogatának és a most kapott csonkagúla térfogatának különbsége: A két térfogat aránya: .
|
|