Feladat:	C.1051	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szőts Nóra
Füzet:	2012/január, 14. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: C.1051

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje $x^2$ a kisebbik négyzetszámot, a következőt pedig ${\left(x+1\right)}^2$. Ekkor $x^2<n<{\left(x+1\right)}^2$. A feltétel szerint $x^2=n-k$ és ${\left(x+1\right)}^2=n+l$, és innen $l={\left(x+1\right)}^2-n={\left(x+1\right)}^2-\left(x^2+k\right)$. Azt állítjuk, hogy $n-kl$ négyzetszám. Írjuk be az egyenlőségbe az $n$-re és $l$-re előbb kapott kifejezéseket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle n-kl}& {\displaystyle =x^2+k-k\left[{\left(x+1\right)}^2-\left(x^2+k\right)\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+k-k\left(x^2+2x+1-x^2-k\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+k-2kx-k+k^2=\left(x^2-2kx+k^2\right)={\left(x-k\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ s mivel $n$ és $k$ természetes számok, a kifejezés valóban négyzetszám.