Feladat:	C.1050	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2012/január, 13 - 14. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Kombinációk, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: C.1050

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Számoljuk össze, hány olyan 3 tagú összeg van, amelynek összértéke különböző. Először tekintsük azt az esetet, amikor 3 darab húszezresünk van. Ez csak 1-szer fordul elő. Hagyjuk el az egyik húszezrest és nézzük meg, hogy a harmadik összeadandót változtatva hány különböző összeget kapunk. A 3. helyre csak a húszezernél kisebb értékeket választhatjuk, ez 5 lehetőséget ad. Végül, ha 1 db húszezresünk van és a 2. helyen tízezres áll, a 3. helyen tízezres, ötezres, kétezres, ezres és ötszázas állhat, ez 5 újabb lehetőség. Ha a 2. helyen ötezres áll, akkor a 3. helyen ötezres, kétezres, ezres és ötszázas állhat, 4 értéket választhatunk; ha kétezres áll, akkor 3 értéket, ha ezres van, akkor 2-t és végül maradt a húszezres + ötszázas + ötszázas, 1 eset. Ez eddig összesen 21 féle összeget tudunk kifizetni. Ha 2 db tízezresünk van, a harmadik helyen tízezres, ötezres, kétezres, ezres vagy ötszázas állhat, ez újabb 5 lehetőség. Végül 1 db tízezres esetén a következő összegek fordulnak elő: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{10e+5e+5e }\text{10e+2e+2e }\text{10e+1e+1e }\text{10e+500+500<br> }\text{10e+5e+2e }\text{10e+2e+1e }\text{10e+1e+500 <br> }\text{10e+5e+1e }\text{10e+2e+500 <br> }\text{10e+5e+500. }}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ez az előzővel együtt összesen 15 összeg. Ezeken kívül még a következő összegek fordulhatnak elő: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{5e+5e+5e }\text{5e+2e+2e }\text{5e+1e+1e<br> }\text{5e+5e+2e }\text{5e+2e+1e }\text{5e+1e+500<br> }\text{5e+5e+1e }\text{5e+2e+500 }\text{5e+500+500<br> }\text{5e+5e+500<br> }\text{2e+2e+2e }\text{2e+1e+1e }\text{1e+1e+1e }\text{500+500+500<br> }\text{2e+2e+1e }\text{2e+1e+500 }\text{1e+1e+500<br> }\text{2e+2e+500 }\text{2e+500+500 }\text{1e+500+500. }}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ez összesen 20 újabb lehetőség. Összegezve az eredményeket: $21+15+20=56$ eset. Vegyük észre, hogy az összegek közül bizonyosak kétszer is szerepelnek. Keressük meg és írjuk fel, melyek azok: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{20e+5e+5e<br> }\text{10e+10e+10e }}\hfill \end{array}}}\hfill & {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{20e+1e+1e<br> }\text{10e+10e+2e }}\hfill \end{array}}}\hfill & {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{20e+500+500 <br> }\text{10e+10e+1e, }}\hfill \end{array}}}\hfill \\ {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{10e+1e+1e<br> }\text{5e+5e+2e }}\hfill \end{array}}}\hfill & {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{10e+500+500<br> }\text{5e+5e+1e }}\hfill \end{array}}}\hfill & {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{2e+2e+2e<br> }\text{5e+500+500 }}\hfill \end{array}}}\hfill & {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{2e+500+500<br> }\text{1e+1e+1e. }}\hfill \end{array}}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Összesen 7 összeg szerepel kétszer is. Ezt 56-ból kivonva kapjuk, hogy a különböző összegek száma 49.