Kezdőlap


Feladat:	B.4277	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Éles András , Janzer Olivér , Karkus Zsuzsa , Máthé László , Mester Márton , Somogyi Ákos , Szabó Attila , Weisz Gellért , Weisz Ágoston
Füzet:	2011/szeptember, 349 - 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú egyenletek, Algebrai átalakítások, Diofantikus egyenletek, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: B.4277

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy az $x$ , $y$ egész számok kielégítik az egyenletet. A két szám bármely közös osztója osztja az $x^{2} y^{2} - x^{3} - y^{3} = 1$ számot, vagyis $x$ és $y$ relatív prímek. Szimmetria okok miatt elegendő az $x \geq y$ esettel foglalkozni. Ha $x < 0$ lenne, akkor az eredeti egyenlet bal oldalán negatív, a jobb oldalán pozitív szám állna. Ha $x = 0$ , akkor $y^{3} + 1 = 0$ , $y = - 1$ . A továbbiakban tehát feltehetjük, hogy $x > 0$ .
Rendezzük át az egyenletet, és mindkét oldalt alakítsuk szorzattá:

\begin{matrix} x^{3} + 1 & = x^{2} y^{2} - y^{3}, \\ (x + 1) (x^{2} - x + 1) & = y^{2} (x^{2} - y) . \end{matrix}

1. Vizsgáljuk meg először az

y \geq 0

esetet. Ekkor

x - 1 \geq y \geq 0

, ugyanis

x

y

relatív prímek lévén,

x = y

esetén

x = y = 1

következne, ami nem ad megoldást. Tehát

x^{2} - y \geq x^{2} - x + 1 > 0

, vagyis szükégképpen

y^{2} \leq x + 1

. Ha

y^{2} \leq x

lenne, abból

\begin{matrix} y^{2} (x^{2} - y) \leq x^{3} < x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1) \end{matrix}

következne, vagyis

y^{2} = x + 1

, és ennek megfelelően

x^{2} - y = x^{2} - x + 1

, tehát

y = x - 1

. Innen

{(x - 1)}^{2} = x + 1

x^{2} - 3 x = 0

, vagyis

x = 3

következik. Az

y

értékére pedig

2

adódik.
2. Térjünk át az

y < 0

eset vizsgálatára. Az

x

pozitív, így

y < x - 1

, azaz

- y > - x + 1

, vagyis

\begin{matrix} x^{2} - y > x^{2} - x + 1 > 0. \end{matrix}

Ezért most az egyenlet szorzattá alakítása alapján

y^{2} < x + 1

, vagyis

y^{2} \leq x

. Ha

y^{2} \leq x - 1

lenne, akkor

- y \leq y^{2}

figyelembevételével

\begin{matrix} y^{2} (x^{2} - y) & \leq (x - 1) (x^{2} + y^{2}) \leq (x - 1) (x^{2} + x - 1) = \\ = x^{3} - 2 x + 1 < x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1) \end{matrix}

lenne, ami nem lehetséges. Tehát

y^{2} = x

kell, hogy legyen. Minthogy

x

y

relatív prímek, ez csak

x = 1

y = - 1

esetén lehetséges.
Az

x \leq y

feltételt kielégítő megoldásokat

x

és

y

szerepének felcserélésével kaphatjuk meg. Ennek alapján a lehetséges

(x; y)

megoldáspárok:

(0; - 1), (3; 2)

(1; - 1)

(- 1; 0)

(2; 3)

és

(- 1; 1)

. Ezek mindegyike valóban megoldása az egyenletnek.

II. megoldás. Az ilyen diofantikus egyenletek megoldásánál célszerű először körülbelüli nagyságrendi becsléssel kísérletezni. Ha a két oldal különböző nagyságrendű, akkor a megoldás abszolútértékére felső becslést kaphatunk, s ez után már csak véges sok esetet kell megvizsgálnunk. Az alábbi megoldás hátterében is ilyen meggondolás áll. Közelebbről egyenletünk esetében azt látjuk, hogy ha például

x \geq y

és

x

elég nagy, akkor a bal oldal

x^{3}

nagyságrendű, míg a jobb oldalon

x^{2} y^{2}

áll, tehát

x

nagyjából

y^{2}

nagyságrendű. Ha pedig

y \geq x

, akkor

y

nagyjából

x^{2}

nagyságrendű. Ez az észrevétel a megoldás kiindulópontja: célszerűnek látszik az egyenletünket

\begin{matrix} x y + 1 = (x^{2} - y) (y^{2} - x) \end{matrix}

(1)

alakba átírni. Szimmetria okokból a továbbiakban elegendő csak azokat az eseteket vizsgálni, amikor

x \geq y

. Ha

x = y

, akkor az

\begin{matrix} x^{2} + 1 = {(x^{2} - x)}^{2} \end{matrix}

egyenlethez jutunk, aminek nincs egész megoldása. (Két négyzetszám különbsége csak úgy lehet 1, ha az egyik nulla.) A továbbiakban feltehetjük azt is, hogy

x - 1 \geq y

.
1. Tekintsük először azokat az eseteket, amikor

x

és

y

is pozitív egészek. Ekkor (1) bal oldala pozitív, jobb oldalon az első tényező szintén pozitív, tehát a második is pozitív, azaz legalább 1. Így a jobb oldal alulról becsülhető:

\begin{matrix} (x^{2} - y) (y^{2} - x) \geq x^{2} - y \geq x^{2} - x + 1 = x (x - 1) + 1 \geq x y + 1. \end{matrix}

Vagyis (1)-ben a bal és a jobb oldal csak úgy lehet egyenlő, ha itt mindenütt egyenlőség áll, azaz

y = x - 1

és

y^{2} - x = 1

. Ez az

x^{2} - 3 x = 0

egyenlethez vezet, aminek pozitív megoldása

x = 3

, s ekkor

y = 2

, ami valóban megoldása is az eredeti egyenletnek.
2. Tegyük fel másodszor, hogy

x

pozitív,

y

negatív. Az eredeti egyenletben a jobb oldalon álló kifejezés nem negatív, tehát a bal oldal sem lehet negatív, ebből viszont következik, hogy

x

(a pozitív szám) a nagyobb abszolútértékű. Legyen

y = - z

. Ekkor

x \geq z > 0

, és az (1) egyenlet így alakul:

\begin{matrix} - x z + 1 = (x^{2} + z) (z^{2} - x) . \end{matrix}

(2)

Most a bal oldal biztosan nem pozitív, a jobb oldal első tényezője pozitív, tehát a második tényező vagy nulla, vagy negatív. Utóbbi esetben a jobb oldal abszolútértéke nagyobb, mint

x^{2}

, míg a bal oldalé kisebb, ami ellentmondás. Marad még az az eset, ha

z^{2} = x

és

x z = 1

. Ebből

z^{3} = 1

, így az

y = - 1

és

x = 1

megoldást kapjuk.
3. Mindkét változó nem lehet negatív, mert akkor az eredeti egyenletben bal oldalon negatív szám állna, a jobb oldalon viszont pozitív.
4. Marad még az az eset, ha az egyik változó nulla, például

x = 0

. Ekkor az egyenlet

y^{3} + 1 = 0

, tehát az

x = 0

y = - 1

(és fordítva, az

x = - 1

és

y = 0

) megoldáshoz jutunk. A szimmetria figyelembevételével az összes megoldás:

\begin{matrix} (3; 2), (2; 3), (1; - 1), (- 1; 1), (0, - 1), (- 1; 0) . \end{matrix}