Kezdőlap


Feladat:	B.4261	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás , Beke Lilla , Damásdi Gábor , Éles András , Márkus Bence , Mester Márton , Mészáros András , Nagy Róbert , Németh Bence , Perjési Gábor , Tóth Barnabás , Tóth Tekla , Uray Marcell János , Varju Tamás , Vuchetich Bálint , Weisz Gellért , Weisz Ágoston
Füzet:	2011/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat, Szabályos testek, Trapézok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: B.4261

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A kocka éle legyen $a$ hosszúságú, a tető éle pedig $b$ hosszúságú. A tető éleinek végpontjai az 1. ábra szerint legyenek $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ és $F$ .

1. ábra

E B A

E B C F

és

E F D A

oldallapok szomszédosak, ezért síkjaik páronként ugyanakkora szöget zárnak be. A három sík metszésvonalai is páronként egyenlő szögeket zárnak be, továbbá mindegyik

E

-ből induló él

b

hosszúságú. Ezek alapján az

A B F

háromszög (és ugyanilyen okból az

E C D

háromszög is) szabályos. Az

A E F D

és

B C F E

szimmetrikus trapézok átlói és hosszabbik alapja

a

, rövidebbik alapja és szárai

b

hosszúságúak.
Nézzük a háztetőt alkotó két szimmetrikus trapéz egyikét, legyenek ennek csúcsai

A

E

F

és

D

. A trapéz átlóinak behúzásával keletkező egyenlőszárú háromszögek szögeire az ábra alapján

\begin{matrix} M A D ∢ = M D A ∢ = M E F ∢ = M F E ∢ = M D F ∢ = F A E ∢ = α . \end{matrix}

2. ábra

Most kihasználva, hogy

A D = A F = a

látjuk, hogy

D F M ∢ = F D A ∢ = 2 α

. Az

A D F

és

F D M

háromszögek tehát egyenlő szárúak és hasonlók, és az oldalak arányára nézve

F M : F D = F D : A F

. Ez pontosan azt jelenti, hogy

(a - b) : b = b : a

. Beszorozva és rendezve

\begin{matrix} a^{2} - a b = b^{2} . \end{matrix}

Most nullára rendezve és

a^{2}

-tel osztva a

\frac{b}{a}

arányra kapunk másodfokú egyenletet. Ennek pozitív gyöke a nevezetes aranymetszés aránya:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} . \end{matrix}

Megjegyzés. Ilyen háztetőt kapunk akkor, ha egy szabályos dodekaédernek egy élét kiválasztva, az él csúcsaival szomszédos további négy csúcs által meghatározott négyzet síkjával elmetsszük a dodekaédert.

Tóth Tekla dolgozata alapján