Feladat:	C.1053	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Réka
Füzet:	2012/április, 216. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: C.1053

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\left(2n-1\right)}^{2n+1}+{\left(2n+1\right)}^{2n-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\left(2n\right)}^{2n+1}-\left(2n+1\right){\left(2n\right)}^{2n}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2}\right){\left(2n\right)}^{2n-1}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{3}\right){\left(2n\right)}^{2n-2}+\text{...}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2n}\right){\left(2n\right)}^1-1+{\left(2n\right)}^{2n-1}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{1}\right){\left(2n\right)}^{2n-2}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{2}\right){\left(2n\right)}^{2n-3}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{3}\right){\left(2n\right)}^{2n-4}+\text{...}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{2n-2}\right){\left(2n\right)}^1+1.}\hfill \end{array}}$ Az összegben a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2n}\right){\left(2n\right)}^1-1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{2n-2}\right){\left(2n\right)}^1+1$ kivételével az összes tag osztható 4-gyel, mert a $2n$ minden esetben legalább 2-es kitevőn van. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2n}\right)\left(2n\right)-1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{2n-2}\right)\left(2n\right)+1}& {\displaystyle =\left(2n+1\right)\left(2n\right)+\left(2n-1\right)\left(2n\right)-1+1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2n\left(2n+1+2n-1\right)=2n\cdot 4n=8n^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és ez is osztható 4-gyel. Vagyis ${\left(2n-1\right)}^{2n+1}+{\left(2n+1\right)}^{2n-1}$ valóban osztható 4-gyel.