Kezdőlap


Feladat:	B.4243	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böőr Katalin
Füzet:	2010/november, 479. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: B.4243

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy a feladatban szereplő szám felbontható két, 1-nél nagyobb pozitív egész szám szorzatára. A hatvány hatványozására vonatkozó azonosság alapján $65^{64} = {(65^{32})}^{2}$ . Először teljes négyzetté kiegészítve a feladatban szereplő számot kapjuk, hogy

\begin{matrix} 65^{64} + 64 = {(65^{32} + 8)}^{2} - 16 \cdot 65^{32} . \end{matrix}

Mivel a kivonandó is négyzetszám, most használhatjuk az

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

azonosságot.

\begin{matrix} 65^{64} + 64 = {(65^{32} + 8)}^{2} - {(4 \cdot 65^{16})}^{2} = (65^{32} + 4 \cdot 65^{16} + 8) (65^{32} - 4 \cdot 65^{16} + 8) . \end{matrix}

Akkor kapunk biztosan összetett számot, ha a kisebb tényező is nagyobb, mint 1.

\begin{matrix} 65^{32} - 4 \cdot 65^{16} + 8 = 65^{16} (65^{16} - 4) + 8 > 65^{16} + 8, \end{matrix}

hiszen

65^{16} - 4 > 1

Megjegyzés. A fenti feladat egy oszthatósági feladatokban előforduló azonosság alkalmazásának is tekinthető:

\begin{matrix} a^{4} + 4 b^{4} & = {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2} = {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - {(2 a b)}^{2} = \\ = (a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}) (a^{2} - 2 a b + 2 b^{2}) . \end{matrix}

Ezt az azonos átalakítást több feladatgyűjtemény nevezi Sophie Germain-féle azonosságnak.