Kezdőlap


Feladat:	B.4227	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tóth Barnabás
Füzet:	2010/november, 476 - 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: B.4227

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyünk fel egy húrnégyszöget $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oldalakkal. Legyen a $B D$ átló hossza $e$ . Ekkor a szemközti szögek összege $180^{\circ}$ , vagyis amennyiben az $A$ csúcsnál lévő szög $α$ , akkor a $C$ csúcsnál lévő szög $180^{\circ} - α$ . Írjuk fel a koszinusz-tételt az $A B D$ és $B C D$ háromszögekben:

\begin{matrix} e^{2} & = a^{2} + d^{2} - 2 a d \cdot cos α, \\ e^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (180^{\circ} - α) = \\ = b^{2} + c^{2} + 2 b c \cdot cos α . \end{matrix}

A jobb oldalakat egyenlővé téve és

cos α

-t kifejezve:

\begin{matrix} a^{2} + d^{2} - 2 a d \cdot cos α & = b^{2} + c^{2} + 2 b c \cdot cos α, \\ a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2} & = cos α \cdot (2 a d + 2 b c), \\ cos α & = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c} . \end{matrix}

Megfordítva: ha az

\frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c}

érték

- 1

és

+ 1

közé esik, akkor szerkeszthető húrnégyszög az

a

b

c

d

szakaszokból, hiszen akkor van olyan

α

szög, amelynek koszinusza

\frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c}

, és olyan

\begin{matrix} e = \sqrt[]{a^{2} + d^{2} - 2 a d cos α} = \sqrt[]{b^{2} + c^{2} + 2 b c cos α} \end{matrix}

szakasz, amelyre

| a - d | < e < a + d

és

| b - c | < e < b + c

. Ekkor a megszerkeszhető

a

d

e

és

b

c

e

oldalú háromszögeket közös

e

oldaluknál összeragasztva olyan négyszöget kapunk, amelynek az

e

átlóval szemközti szögei

α

és

180^{\circ} - α

, vagyis a négyszög húrnégyszög.
Vizsgáljuk meg, hogy teljesülnek-e a

- 1

-re és

+ 1

-re vonatkozó egyenlőtlenségek:

\begin{matrix} - 1 & < \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c}, \\ - 2 a d - 2 b c & < a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}, \\ 0 < {(a + d)}^{2} - {(c - b)}^{2} & = (a + d - c + b) (a + d + c - b) . \end{matrix}

Mivel az

a

b

c

d

szakaszokból négyszög szerkeszthető, azért

a + d + b > c

és

a + d + c > b

, tehát mindkét szorzótényező pozitív, így az egyenlőtlenség fennáll. Hasonlóan, az

\begin{matrix} 1 > \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c} \end{matrix}

egyenlőtlenség ekvivalens átalakításával:

\begin{matrix} 2 a d + 2 b c & > a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}, \\ 0 > {(a - d)}^{2} - {(c + b)}^{2} & = (a - d - c - b) (a - d + c + b) . \end{matrix}

Mivel

d + c + b > a

és

a + c + b > d

, az első szorzótényező negatív, a második pozitív, így az egyenlőtlenség fennáll.
Tehát az

a

b

c

d

oldalakból húrnégyszög is szerkeszthető.