Megoldás. 1. Három szín elegendő a kívánt színezéshez. Legyen a hételemű halmaz $\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6,7}\right\}$. Az 1-et tartalmazó háromelemű részhalmazok színe legyen piros, az 1-et nem, de a 2-t tartalmazóké kék, a többi pedig legyen sárga. Ekkor bármely két piros részhalmaz tartalmazza az 1-et, ezért nem lehetnek diszjunktak. Hasonlóan bármely két kék részhalmaznak közös eleme a 2. Tekintsünk két sárga részhalmazt; ezeknek nem eleme sem az 1, sem a 2, így elemeik legfeljebb ötfélék lehetnek: 3, 4, 5, 6 vagy 7. Két ilyen háromelemű halmaz tehát nem lehet diszjunkt, hiszen ahhoz $3+3=6$ különböző elemre lenne szükség.
2. Megmutatjuk, hogy két színnel a színezés nem valósítható meg. Tegyük fel, hogy az lenne, és tekintsük a $H_1=\left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$, $H_2=\left\{\mathrm{4,5,6}\right\}$, $H_3=\left\{\mathrm{1,2,7}\right\}$, $H_4=\left\{\mathrm{3,5,6}\right\}$, $H_5=\left\{\mathrm{2,4,7}\right\}$, $H_6=\left\{\mathrm{1,3,6}\right\}$, $H_7=\left\{\mathrm{4,5,7}\right\}$ halmazokat. Ebben a sorrendben bármely két szomszédos helyen álló halmaz egymástól diszjunkt, ezért ha például $H_1$ piros, akkor $H_2$ kék, $H_3$ piros, $H_4$ kék, $H_5$ piros, $H_6$ kék és $H_7$ ismét piros. Azonban $H_7$ és $H_1$ is egymástól diszjunktak, tehát nem lehetnek egyszerre pirosak, ellentmondás.