Kezdőlap


Feladat:	B.4228	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Cséke Balázs
Füzet:	2010/december, 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rekurzív sorozatok, Oszthatóság, Maradékos osztás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: B.4228

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sorozat első három tagja: $p_{1} = 2$ , $p_{2} = 3$ , $p_{3} = 7$ . Ha $n \geq 3$ , akkor $p_{1} p_{2} ... p_{n} + 1$ nem osztható ezen prímek egyikével sem. Ezért $p_{n + 1}$ csak úgy lehet 11, ha

\begin{matrix} p_{1} p_{2} ... p_{n} + 1 = 5^{m} \cdot 11^{k}, \end{matrix}

ahol

0 \leq m

és

1 \leq k

. Tegyük fel, hogy ez a helyzet. Mivel

p_{1} p_{2} ... p_{n}

osztható 3-mal,

5^{m} \cdot 11^{k}

a 3-mal maradékosan osztva 1-et ad maradékul. Másrészt 5 is és 11 is

- 1

-et ad maradékul 3-mal osztva, ezért

5^{m} \cdot 11^{k}

maradéka

{(- 1)}^{m + k}

. Így

m + k

szükségképpen páros. Ha

m

és

k

páros, akkor

5^{m} \cdot 11^{k} = 5^{m} \cdot 11^{2 k'} = {(4 + 1)}^{m} \cdot {(120 + 1)}^{k'}

4-gyel osztva 1-et ad maradékul. Ez azonban lehetetlen, hiszen

p_{1} p_{2} ... p_{n}

(páros, de) nem osztható 4-gyel. Így

m

is és

k

is páratlan, ezért

5^{m} \cdot 11^{k} = 5^{2 t + 1} \cdot 11^{2 r + 1} = 55 \cdot {(5^{t} \cdot 11^{r})}^{2}

. Nézzük e szám 7-es maradékát:

55 = 8 \cdot 7 - 1

, négyzetszám maradéka pedig 0, 1, 2 vagy 4 lehet; így a szám 7-tel osztva csak a 0,

- 1

- 2

vagy

- 4

maradékok valamelyikét adhatja. Azonban

p_{3} = 7

miatt

p_{1} p_{2} ... p_{n}

osztható 7-tel, ezért

p_{1} p_{2} ... p_{n} + 1 = 5^{m} \cdot 11^{k}

maradéka 1. A kapott ellentmondás miatt a sorozatban nem szerepel a 11.