Kezdőlap


Feladat:	C.997	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Dóra
Füzet:	2010/november, 473. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Fibonacci-sorozat, Oszthatóság, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: C.997

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sorozat tagjai: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = 2$ , $a_{4} = 3$ , $...$ , $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ . A feladat állítását a teljes indukció módszerével bizonyítjuk, vagyis, hogy a tulajdonság öröklődik. Tudjuk, hogy $a_{4} = 3$ osztható 3-mal. Azt kell belátnunk, hogy ha $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} = 3 k$ , akkor $a_{n + 4}$ ugyancsak többszöröse 3-nak.
Írjuk fel $a_{n + 4}$ -et és fejtsük ,,vissza'':

\begin{matrix} a_{n + 4} & = a_{n + 3} + a_{n + 2} = a_{n + 2} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 2} + a_{n + 1} = \\ = 2 (a_{n + 1} + a_{n}) + a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} + a_{n}) + a_{n} + a_{n - 1} = \\ = 2 (2 a_{n} + a_{n - 1}) + 2 a_{n - 1} + a_{n - 2} = 4 a_{n} + 4 a_{n - 1} + a_{n - 2} = \\ = 8 a_{n - 1} + 5 a_{n - 2} = 5 (a_{n - 1} + a_{n - 2}) + 3 a_{n - 1} = 5 \cdot 3 k + 3 a_{n - 1} . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítást befejeztük.