Kezdőlap


Feladat:	C.992	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blóz Gizella
Füzet:	2010/november, 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Valószínűségi változó, Binomiális együtthatók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: C.992

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A 10 doboz kiválasztásakor a dobozokban 0, 1, 2, $...$ , vagy 10 utalványt találunk. Nevezzük ezeket elemi eseményeknek, és jelöljük őket $A_{0}, A_{1}, A_{2}, ..., A_{10}$ -zel. Ekkor $A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset$ ( $0 \leq i \neq j \leq 10$ ) a lehetetlen és $A_{0} \cup A_{1} \cup ... \cup A_{10} = 1$ a biztos esemény.
Legyen $n$ az a szám, ahány dobozonként az utalványokat el kell helyeznünk, hogy teljesüljön a feladat követelménye. Ekkor annak valószínűsége, hogy az összes doboz között találunk egy olyat, amelyikben van ajándékutalvány $p = \frac{1}{n}$ , és hogy nem találunk $q = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
Az elemi események valószínűségére ismert képlet szerint:

\begin{matrix} p (A_{i}) = (\binom{10}{i}) p^{i} q^{10 - i}, i = 0,1, ...,10. \end{matrix}

A feladat szövege szerint 10 doboz kiválasztása esetén ez a valószínűség legalább 50% kell, hogy legyen, azaz

\begin{matrix} p (A_{1}) + p (A_{2}) + ... + p (A_{10}) = \sum_{i = 1}^{10} (\binom{10}{i}) p^{i} q^{10 - i} \geq \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 1 = (\binom{10}{0}) p^{0} q^{10} + \sum_{i = 1}^{10} (\binom{10}{i}) p^{i} q^{10 - i} \geq (\binom{10}{0}) p^{0} q^{10} + \frac{1}{2} . \end{matrix}

Innen

q^{10} \leq \frac{1}{2}

. Írjuk be a

q = \frac{n - 1}{n}

összefüggést, azt kapjuk, hogy

{(\frac{n - 1}{n})}^{10} \leq \frac{1}{2}

. Fejezzük ki

n

-t:

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n} \leq \sqrt[10]{\frac{1}{2}}, és n \leq \frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{2} - 1} \approx 14, 93. \end{matrix}

Tehát körülbelül minden 15. dobozba kell nyereményutalványt tenni.